[论文解读] Quasi-stationarity and quasi-ergodicity for discrete-time Markov chains with absorbing boundaries moving periodically

William Oçafrain|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文研究了具有周期性移动吸收边界的一般离散时间马尔可夫链中的准平稳性与准遍历性。证明了由于时间依赖的转移动态，准平稳分布与准极限分布不存在于周期性边界移动的情形下，但通过周期性时间齐次化技术，建立了准遍历分布与Q过程的存在性。关键结果为：即使在周期性吸收条件下，平均时间平均行为仍收敛于一个平稳测度，该结论在Z上的随机游走与2-周期吸收边界情形下得到验证。

ABSTRACT

We are interested in quasi-stationarity and quasi-ergodicity when the absorbing boundary is moving. First we show that, in the moving boundary case, the quasi-stationary distribution and the quasi-limiting distribution are not well-defined when the boundary is oscillating periodically. Then we show the existence of a quasi-ergodic distribution for any discrete-time irreducible Markov chain defined on a finite space state in the fixed boundary case. Finally we use this last result to show the quasi-ergodicity in the moving boundary case.

研究动机与目标

• 填补马尔可夫链在时变吸收边界下准平稳行为的理论框架空白。
• 检验当吸收边界周期性移动时，经典概念如准平稳分布与准极限分布是否仍然有效。
• 在吸收边界移动的情形下，尽管标准准平稳概念失效，仍建立准遍历分布与Q过程的存在性。
• 为具有周期性灭绝边界的时变马尔可夫链提供严谨的分析框架。
• 将理论应用于具有2-周期吸收边界的离散时间随机游走，以展示其实际相关性。

提出的方法

• 通过在乘积空间 E × Z/γZ 上构造提升过程，将周期性边界下的准遍历性问题转化为非移动、周期性马尔可夫链问题。
• 利用马尔可夫性质与周期性，表达周期内的条件转移概率，从而实现收敛性分析。
• 对提升链的转移矩阵应用谱分解技术，利用第二类切比雪夫多项式。
• 通过提升链的遍历性证明时间平均期望的收敛性，表明收敛至一个与初始分布无关的极限测度。
• 将Q过程构造为一个时变马尔可夫链，其转移概率由条件过程的极限行为导出。
• 通过显式谱分析，在简单对称随机游走于Z上且吸收边界为2-周期的情形下验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当离散时间马尔可夫链的吸收边界周期性移动时，准平稳分布与准极限分布是否仍定义良好？
• RQ2 对于不可约的马尔可夫链，若其吸收边界周期性移动，是否存在准遍历分布？
• RQ3 在周期性边界移动下，过程在非吸收条件下的时间平均泛函的极限行为如何？
• RQ4 与固定边界情形相比，移动边界情形下Q过程的结构有何不同？
• RQ5 准遍历性理论能否推广至具有周期性吸收边界的随机游走？其结果的极限分布是什么？

主要发现

• 通过使用时变转移核的反证法，证明了当吸收边界周期性移动时，准平稳分布与准极限分布不存在。
• 对于有限状态空间上任意不可约的离散时间马尔可夫链，若其具有周期性吸收边界，则准遍历性成立，即时间平均分布收敛于唯一的极限测度。
• 对于在Z上具有吸收集{0, 2N}或{1, 2N−1}的2-周期随机游走，其准遍历分布依赖于初始状态的奇偶性，并可通过正弦加权和显式给出。
• 当从奇数状态出发且在{0, 2N}处吸收时，准遍历分布与sin²(jπ/(2N))成正比，其中j = 1 到 2N−1。
• 当从偶数状态出发时，准遍历分布与sin²((j−1)π/(2(N−1)))成正比，其中j = 2 到 2N−2，反映在{1, 2N−1}处吸收。
• Q过程存在，且可表征为一个时变马尔可夫链，其转移概率依赖于当前状态与时间模2，由提升链的谱性质导出。