[论文解读] Quasi-stationary distributions and Fleming-Viot processes for finite state Markov processes

Amine Asselah, Pablo A. Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文研究具有吸收态的有限状态连续时间马尔可夫链的Fleming-Viot过程。结果表明，当粒子数 N → ∞ 时，N 个粒子的经验分布收敛于单个粒子的拟平稳分布，且 N 个粒子过程的不变测度收敛于拟平稳分布，两粒子相关性以 O(1/N) 的速率衰减。

ABSTRACT

Consider a continuous time Markov chain with rates Q in the state space \Lambda\cup\{0\} with 0 as an absorbing state. In the associated Fleming-Viot process N particles evolve independently in \Lambda with rates Q until one of them attempts to jump to the absorbing state 0. At this moment the particle comes back to \Lambda instantaneously, by jumping to one of the positions of the other particles, chosen uniformly at random. When \Lambda is finite, we show that the empirical distribution of the particles at a fixed time converges as N o\infty to the distribution of a single particle at the same time conditioned on non absorption. Furthermore, the empirical profile of the unique invariant measure for the Fleming-Viot process with N particles converges as N o\infty to the unique quasi-stationary distribution of the one-particle motion. A key element of the approach is to show that the two-particle correlations is of order 1/N.

研究动机与目标

• 理解有限状态连续时间马尔可夫链中具有 N 个粒子的Fleming-Viot过程的长期行为。
• 建立 N 个粒子Fleming-Viot过程的不变测度与单个粒子过程拟平稳分布之间的联系。
• 分析粒子相关性在 N → ∞ 极限下的标度行为。
• 证明 N 个粒子的经验分布收敛于单个粒子在未吸收条件下的条件分布。

提出的方法

• 在 Λ ∪ {0} 上建立一个连续时间马尔可夫链，其中 0 为吸收态，转移率为 Q。
• 定义 N 个粒子的Fleming-Viot过程：粒子在 Λ 内独立跳跃，直到某一粒子试图吸收至 0，此时则从其余 N−1 个粒子中均匀重新采样。
• 分析在固定时间 t 下，N 个粒子过程中粒子位置的经验分布。
• 使用耦合与对偶技术证明两粒子相关性为 O(1/N) 阶。
• 证明当 N → ∞ 时，N 个粒子过程的不变测度弱收敛于单个粒子过程唯一拟平稳分布。
• 建立有限时间经验分布收敛于条件分布的结果，条件为未吸收。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 N → ∞ 时，Fleming-Viot过程中 N 个粒子的经验分布是否收敛于单个粒子的条件分布？
• RQ2 N 个粒子Fleming-Viot过程的不变测度是否渐近等价于单个粒子过程的拟平稳分布？
• RQ3 在Fleming-Viot过程中，粒子间的相关性如何随 N 标度？
• RQ4 重采样机制在维持非吸收经验测度中起什么作用？

主要发现

• 当 N → ∞ 时，固定时间 t 下 N 个粒子的经验分布以分布收敛于单个粒子在未吸收条件下的分布。
• 当 N → ∞ 时，N 个粒子Fleming-Viot过程的不变测度弱收敛于单个粒子过程的唯一拟平稳分布。
• N 个粒子过程中两粒子相关性为 O(1/N) 阶，表明在大 N 极限下粒子渐近独立。
• 在 Λ 有限且单个粒子过程具有唯一拟平稳分布的假设下，不变测度收敛于拟平稳分布的结果成立。