[论文解读] Quasi-stationary distributions of multi-dimensional diffusion processes

Alexandru Hening, Weiwei Qi+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2021

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 44被引用 4

一句话总结

该论文证明了几乎必然在有限时间内吸收的多维扩散过程的准平稳分布（QSD）的存在性、唯一性及指数收敛性。通过分析由福克-普朗克生成元导出的奇异一致椭圆型算子，作者证明了紧支集初值分布的精确指数收敛性，并在更强的Lyapunov条件下，对所有初值分布实现了唯一性与指数收敛性，推广了先前的一维结果，并将谱理论扩展至具有奇异零阶系数的算子类。

ABSTRACT

The present paper is devoted to the investigation of the long term behavior of a class of singular multi-dimensional diffusion processes that get absorbed in finite time with probability one. Our focus is on the analysis of quasi-stationary distributions (QSDs), which describe the long term behavior of the system conditioned on not being absorbed. Under natural Lyapunov conditions, we construct a QSD and prove the sharp exponential convergence to this QSD for compactly supported initial distributions. Under stronger Lyapunov conditions ensuring that the diffusion process comes down from infinity, we show the uniqueness of a QSD and the exponential convergence to the QSD for all initial distributions. Our results can be seen as the multi-dimensional generalization of Cattiaux et al (Ann. Prob. 2009) as well as the complement to Hening and Nguyen (Ann. Appl. Prob. 2018) which looks at the long term behavior of multi-dimensional diffusions that can only become extinct asymptotically. The centerpiece of our approach concerns a uniformly elliptic operator that we relate to the generator, or the Fokker-Planck operator, associated to the diffusion process. This operator only has singular coefficients in its zeroth-order terms and can be handled more easily than the generator. For this operator, we establish the discreteness of its spectrum, its principal spectral theory, the stochastic representation of the semigroup generated by it, and the global regularity for the associated parabolic equation. We show how our results can be applied to most ecological models, among which cooperative, competitive, and predator-prey Lotka-Volterra systems.

研究动机与目标

• 分析几乎必然在有限时间内吸收的多维扩散过程的长期行为。
• 为这类过程建立准平稳分布（QSD）的存在性与唯一性。
• 证明紧支集初值分布下向QSD的精确指数收敛性。
• 将谱理论推广至一类具有奇异零阶系数的均匀椭圆型算子。
• 将结果应用于生态学模型，包括竞争性、合作性及捕食者-猎物型Lotka-Volterra系统。

提出的方法

• 引入由福克-普朗克生成元导出的均匀椭圆型算子，其零阶项具有奇异系数。
• 建立该奇异算子的谱离散性及主谱理论。
• 通过时间改变过程，为该算子生成的半群建立随机表示。
• 利用逼近与密度论证，证明关联抛物方程解的全局正则性。
• 利用Lyapunov型条件控制边界附近的性质，确保过程从无穷远处“下降”至有限值。
• 应用谱理论推导收敛速率及QSD的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于几乎必然在有限时间内吸收的多维扩散过程，其准平稳分布存在的条件是什么？
• RQ2 是否可对所有初值分布（而不仅限于紧支集初值）建立向QSD的指数收敛性？
• RQ3 奇异一致椭圆型算子的谱理论在刻画QSD及其收敛性质方面起到何种作用？
• RQ4 Lyapunov条件如何确保过程从无穷远处下降？这与QSD的唯一性有何关联？
• RQ5 这些结果在多大程度上可应用于经典的生态学模型，如Lotka-Volterra系统？

主要发现

• 在自然Lyapunov条件下，准平稳分布存在，且对紧支集初值分布实现指数收敛。
• 在更强的Lyapunov条件下（确保过程从无穷远处下降），QSD唯一，且对所有初值分布均实现指数收敛。
• 关联均匀椭圆型算子的谱是离散的，其主特征值决定了指数衰减速率。
• 该算子生成的半群可通过时间改变的扩散过程实现随机表示。
• 该算子的主特征函数对应于QSD的概率密度。
• 结果推广了Cattiaux等（2009）的一维工作，并通过涵盖有限时间吸收情形，补充了Hening与Nguyen（2018）的研究。