[论文解读] Quasi-sure convergence theorem in p-variation distance for Gaussian sample paths

Horatio Boedihardjo, Xi Geng+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用 3

一句话总结

本文通过构建与长程依赖高斯过程相关的马利avin型准必然几何粗糙路径，建立了高斯样本路径在p-变分距离下的准必然收敛定理。利用尹林斯的普遍极限定理及容量的大偏差原理，推导出由此类过程驱动的随机微分方程的路径无关大偏差结果，从而将吉田在抽象维纳空间上的大偏差原理（LDP）结果推广至粗糙路径框架。

ABSTRACT

We construct a quasi-sure version (in the sense of Malliavin) of geometric rough paths associated with a Gaussian process with long-time memory. As an application we establish a large deviation principle (LDP) for capacities for such Gaussian rough paths. Together with Lyons' universal limit theorem, our results yield immediately the corresponding results for pathwise solutions to stochastic differential equations driven by such Gaussian process in the sense of rough paths. Moreover, our LDP result implies the result of Yoshida on the LDP for capacities over the abstract Wiener space associated with such Gaussian process.

研究动机与目标

• 通过马利avin微积分方法，为具有长程依赖性的高斯过程构建几何粗糙路径的准必然版本。
• 建立与这类高斯粗糙路径相关的容量的大偏差原理（LDP）。
• 通过基于容量的分析，将吉田在抽象维纳空间上的LDP结果推广至粗糙路径框架。
• 将LDP应用于由长记忆高斯过程驱动的随机微分方程的路径无关解。

提出的方法

• 利用马利avin微积分技术，构建几何粗糙路径的准必然版本。
• 采用p-变分距离分析高斯样本路径的收敛性。
• 推导粗糙路径空间上容量的大偏差原理。
• 应用尹林斯的普遍极限定理，将LDP结果转移至由SDE驱动的路径无关解。
• 将推导出的LDP与吉田在抽象维纳空间框架下的结果进行比较。
• 采用基于容量的分析方法，处理高斯过程的非马氏性与长记忆结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用马利avin微积分为长记忆高斯过程构建几何粗糙路径的准必然版本？
• RQ2 在p-变分距离下，与这类高斯粗糙路径相关的容量满足何种大偏差原理？
• RQ3 所推导出的LDP与吉田在抽象维纳空间上的LDP之间有何关系？
• RQ4 由这些过程驱动的SDE的路径无关解在多大程度上继承了大偏差行为？
• RQ5 尹林斯的普遍极限定理能否有效用于将基于容量的LDP结果转移至SDE解？

主要发现

• 成功利用马利avin微积分为长记忆高斯过程构建了几何粗糙路径的准必然版本。
• 在p-变分距离下，为高斯过程的粗糙路径提升建立了容量的大偏差原理。
• 所推导的容量LDP蕴含了吉田在抽象维纳空间上的LDP，从而推广了他的结果。
• 容量的LDP使得尹林斯的普遍极限定理可被应用于获得由高斯过程驱动的SDE的路径无关大偏差结果。
• 该研究为在长程依赖条件下分析粗糙路径意义下的SDE路径无关解提供了稳健的理论框架。