[论文解读] Quasiconvex Programming

David Eppstein|ArXiv.org|Dec 10, 2004

Optimization and Variational Analysis被引用 34

一句话总结

本文提出拟凸规划作为一种几何优化框架，用于最小化拟凸函数的逐点最大值，通过广义单纯形法和梯度下降实现高效求解。研究证明，有界维数的拟凸规划问题可使用常数复杂度原语在线性时间内求解，适用于网格生成、科学计算和鲁棒统计等领域。

ABSTRACT

We define quasiconvex programming, a form of generalized linear programming in which one seeks the point minimizing the pointwise maximum of a collection of quasiconvex functions. We survey algorithms for solving quasiconvex programs either numerically or via generalizations of the dual simplex method from linear programming, and describe varied applications of this geometric optimization technique in meshing, scientific computation, information visualization, automated algorithm analysis, and robust statistics.

研究动机与目标

• 将拟凸规划形式化为连接线性规划与凸规划的桥梁，为几何优化提供结构化框架。
• 开发高效求解拟凸规划问题的算法，包括数值方法与组合方法，利用广义单纯形法与梯度下降技术。
• 展示拟凸规划在多种领域的适用性，包括网格生成、信息可视化和鲁棒统计。
• 证明有界维数的拟凸规划问题可使用常数时间原语在线性时间内求解，确立强多项式时间复杂度。
• 通过递归划分与基于排列的决策过程，将框架扩展至隐式问题，如计算Tukey中位数。

提出的方法

• 通过凸下水平集定义拟凸函数，推广凸函数，同时允许非凸形状，如补角函数和阶梯函数。
• 建立拟凸函数与嵌套凸族之间的对偶关系，其中每个水平集对应于一个嵌套递增的紧凸集族。
• 应用隐式拟凸规划技术（定理3.2），通过递归划分问题空间并使用ε-切割求解无显式约束的问题。
• 利用射影对偶性将点集转换为超平面排列，通过(d−1)维排列在O(n log n + n^{d−1})时间内高效检查约束。
• 实现一种决策算法，通过遍历对偶排列的面来检查违反的约束，其中每个半空间中的样本数在相邻面之间变化±1。
• 结合递归划分与常数规模子问题的求解，实现计算Tukey中位数的随机期望时间复杂度为O(n log n + n^{d−1})。

实验结果

研究问题

• RQ1 拟凸规划是否能比一般凸规划更高效地求解几何优化问题？
• RQ2 当常数规模子问题可在常数时间内求解时，如何以强多项式时间实现拟凸规划的组合求解？
• RQ3 使用拟凸规划技术计算Tukey中位数的计算复杂度是多少？
• RQ4 隐式拟凸规划能否处理具有无穷多个约束的问题，如由半空间深度导出的问题？
• RQ5 拟凸函数与单调函数复合后在何种情况下可得到凸函数，何时不可行？

主要发现

• 有界维数的拟凸规划问题可使用常数复杂度原语在线性时间内求解，实现强多项式时间复杂度。
• 通过使用ε-切割与对偶排列的隐式拟凸规划技术，Tukey中位数可在随机期望时间O(n log n + n^{d−1})内计算。
• 该框架同时支持数值方法（如广义梯度下降）与组合算法（如广义对偶单纯形法），实现灵活实现。
• 拟凸函数推广了凸函数，但允许非凸形状，如补角函数和凸集的指示函数。
• 并非所有拟凸函数都能通过与单调函数复合转化为凸函数——例如，凸集的指示函数在该复合下仍保持非凸性。
• 隐式拟凸规划技术通过递归划分问题空间并利用对偶排列求解子问题，使处理无穷多个约束的问题成为可能。