[论文解读] Quasihyperbolic metric and Möbius transformations

Riku Klén, Матти Вуоринен+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2011

Analytic and geometric function theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^n$ 的单位球内建立了 Möbius 变换下拟双曲度量的精确不等式，证明当变换固定一点 $a$ 时，度量变换的因子有界于 $1+|a|$ 和 $1/(1+|a|)$。此外，本文还证明了拟共形映射下的精确拟不变性性质，并推导出拟双曲度量与其他度量（如双曲度量和弦度量）之间的显式界。

ABSTRACT

An improved version of quasiinvariance property of the quasihyperbolic metric under Möbius transformations of the unit ball in ${\mathbb R}^n, n \ge 2,$ is given. Next, a quasiinvariance property, sharp in a local sense, of the quasihyperbolic metric under quasiconformal mappings is proved. Finally, several inequalities between the quasihyperbolic metric and other commonly used metrics such as the hyperbolic metric of the unit ball and the chordal metric are established.

研究动机与目标

• 改进已知的单位球 $\mathbb{B}^n$ 上 Möbius 变换下拟双曲度量的拟不变性性质。
• 建立拟共形映射下拟双曲度量的精确局部拟不变性性质。
• 推导拟双曲度量与单位球双曲度量及弦度量之间比较的显式不等式。
• 解决关于 $\mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ 中弦度量与拟双曲度量比较的最优常数的开放问题。

提出的方法

• 证明固定一点 $a$ 的 $\mathbb{B}^n$ 自身 Möbius 映射的改进拟不变性估计，表明度量扭曲的界为 $1+|a|$ 和 $1/(1+|a|)$。
• 利用 Schwarz 引理的显式精确界和 $K$-拟共形映射的拟对称函数，推导出拟不变性结果。
• 使用距离比度量 $j_D(x,y) = \log\left(1 + \frac{|x-y|}{\min\{d(x),d(y)\}}\right)$ 作为拟双曲度量界比较的工具。
• 利用 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 中拟双曲度量的已知显式公式：$k_{\mathbb{R}^n \setminus \{0\}}(x,y) = \sqrt{\theta^2 + \log^2(|x|/|y|)}$，其中 $\theta$ 为原点处的夹角。
• 对 $x,y \neq \infty$ 使用弦度量 $q(x,y) = \frac{|x-y|}{\sqrt{(1+|x|^2)(1+|y|^2)}}$，并推导其与拟双曲度量的上确界比。
• 使用一个技术性引理来最大化 $\frac{(r+s+a)^2}{(1+r^2)(1+s^2)}$，得到 $\left(\frac{a + \sqrt{4+a^2}}{2}\right)^2$，以界住比值 $q(x,y)/k_G(x,y)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Möbius 变换下单位球中拟双曲度量的拟不变性中，最优常数是什么？
• RQ2 能否在拟共形映射下为拟双曲度量建立精确的局部拟不变性性质？
• RQ3 使得对所有 $x,y \in \mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ 都有 $q(x,y) \leq c \cdot k_G(x,y)$ 的最佳可能常数 $c$ 是多少？
• RQ4 在穿孔空间 $\mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ 中，拟双曲度量与弦度量如何比较？
• RQ5 经典拟不变性界中常数 $2$ 是否是最优的，还是可以改进？

主要发现

• 在 $\mathbb{B}^n$ 上，拟双曲度量满足 $\frac{1}{1+|a|}k_{\mathbb{B}^n}(x,y) \leq k_{\mathbb{B}^n}(h(x),h(y)) \leq (1+|a|)k_{\mathbb{B}^n}(x,y)$，其中 $h$ 为满足 $h(a) = 0$ 的 Möbius 映射，且常数 $1+|a|$ 和 $1/(1+|a|)$ 是精确的。
• 经典定理 1.2 中 Möbius 映射的拟不变性界常数 $2$ 无法在整体上改进，因为最优常数依赖于固定点 $a$，且当 $|a| \to 1$ 时趋于 $\infty$。
• 对于穿孔空间 $\mathbb{R}^n \setminus \{z\}$，不等式 $q(x,y) \leq c \cdot k_G(x,y)$ 的最优常数为 $\frac{|z| + \sqrt{1 + |z|^2}}{2}$，且该界在极限情况下可达到。
• 比值 $\sup_{x,y \in \mathbb{R}^n \setminus \{z\}, x \neq y} \frac{q(x,y)}{k_G(x,y)} = \frac{|z| + \sqrt{1 + |z|^2}}{2}$ 在 $x,y \to (-\sqrt{1+|z|^2} + |z|) \frac{z}{|z|}$ 时达到。
• 此前 Klén 发现的 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 中 $\frac{1}{2}$ 的界，是当 $z=0$ 时一般结果的特例。
• 本文确认，经典 Möbius 映射下拟双曲度量的拟不变性常数 $2$ 并非最优，可依固定点 $a$ 的不同而改进。