[论文解读] Quasilinear elliptic equations in $\RN$ via variational methods and Orlicz-Sobolev embeddings

Antonio Azzollini, Pietro d’Avenia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 23

一句话总结

本文通过在新定义的 Orlicz-Sobolev 空间框架下运用变分法，建立了 $\mathbb{R}^N$ 中一类拟线性椭圆方程存在非平凡非负径向解的结果。通过利用临界点理论并借助径向对称性证明紧嵌入，作者在非线性项和结构函数 $\phi$ 的特定增长条件下获得了基态解。多重性与存在性结果通过山路定理和 Nehari 流形分析得到证实。

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of a nontrivial non-negative radial solution for a quasilinear elliptic problem. Our aim is to approach the problem variationally by using the tools of critical points theory in an Orlicz-Sobolev space. A multiplicity result is also given.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{R}^N$ 中具有非标准增长行为的拟线性椭圆问题存在非平凡非负径向解的结果。
• 通过 Orlicz-Sobolev 空间构建合适的泛函框架，以处理方程主部在零点与无穷远处不同增长速率的问题。
• 通过限制到径向对称函数并证明其在 Lebesgue 空间中的紧嵌入，克服无界区域中紧致性缺失的问题。
• 应用临界点理论，特别是山路定理及其 $\mathbb{Z}_2$-对称变体，证明解的存在性与多重性。
• 通过在径向 Orlicz-Sobolev 空间中对 Nehari 流形上的能量泛函进行最小化，识别基态解。

提出的方法

• 通过在径向 Orlicz-Sobolev 空间 ${\cal W}_r$ 上定义一个 $C^1$ 泛函 $I(u)$，以变分方法处理该问题，其中包含 $\phi(|\nabla u|^2)$、$|u|^\alpha$ 和 $|u|^s$ 等项。
• 该泛函框架基于针对 $\phi(t)$ 在小 $t$ 时行为类似 $t^{q/2}$、在大 $t$ 时行为类似 $t^{p/2}$ 的 Orlicz-Sobolev 空间，其中 $1 < p < q < N$。
• 通过利用勒贝格空间之和的结果与连续嵌入，建立嵌入定理，以确保泛函中所有项在该空间范数下有界且受控。
• 通过将泛函限制在径向对称函数空间中，实现紧致性，从而获得一致衰减估计，并证明 ${\cal W}_r$ 紧嵌入到 $L^s(\mathbb{R}^N)$ 中，其中 $s \in (\max\{q,\alpha\}, p^*)$。
• 在 ${\cal W}_r$ 中验证了 Palais-Smale 条件，从而可应用山路定理及其对称版本，获得至少一个非平凡解及多重性结果。
• 在对 $\phi'$ 施加更强假设的条件下，基态解被识别为能量泛函在 Nehari 流形上的最小化器，确保其范数与能量水平远离零。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于主部具有非均匀增长的 $\mathbb{R}^N$ 中拟线性椭圆方程，是否存在非平凡非负径向解？
• RQ2 当 $\phi$ 在零点与无穷远处增长速率不同时，为确保问题的变分形式在泛函框架下良好定义且为 $C^1$，需要何种函数空间框架？
• RQ3 当平移不变性破坏 Sobolev 空间的紧嵌入时，如何在无界区域中恢复紧致性？
• RQ4 在何种条件下，能量泛函可通过在 Nehari 流形上最小化获得基态解？
• RQ5 在此非标准变分设置下，能否利用对称临界点理论建立解的多重性？

主要发现

• 在 $1 < p < q < N$，$\max\{q, \alpha\} < s < p^*$，且 $1 < \alpha \leq p^* q' / p'$ 的条件下，若 $\phi$ 满足增长性与凸性假设 (Φ1)–(Φ5)，则 $\mathbb{R}^N$ 中拟线性椭圆问题存在非平凡非负径向解。
• 泛函 $I(u)$ 在径向 Orlicz-Sobolev 空间 ${\cal W}_r$ 上有定义且为 $C^1$，该空间是通过在由 $\phi$ 导出的范数下，对径向对称的 $C_c^\infty$ 函数进行闭包构造而成。
• ${\cal W}_r$ 紧嵌入到 $L^s(\mathbb{R}^N)$ 中，其中 $s \in (\max\{q, \alpha\}, p^*)$，从而支持 Palais-Smale 条件的验证与临界点理论的应用。
• 通过 $\mathbb{Z}_2$-对称山路定理获得多重性结果，确保在给定的增长与凸性条件下存在无穷多解。
• 在更强假设 (Φ2′) 下，存在基态解 $\bar{u} \in {\cal W}_r$，其为能量泛函在所有非平凡解集合上的最小化器，满足 $I(\bar{u}) = \min_{u \in \mathcal{S}} I(u) > 0$。
• 通过将方程与 $\bar{u}^-$ 进行测试，证明解 $\bar{u}$ 几乎处处非负，否则将导致矛盾。