[论文解读] Quasilocal angular momentum and center of mass in general relativity

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新的、几何一致的广义相对论中准局部角动量与质心的定义，该方法基于将时空中的类空二维曲面 Σ 最优等距嵌入闵氏空间 ℝ³,¹ 及其规范规范。该方法得到的守恒量不受坐标或渐近对称性模糊性的影响，满足真空爱因斯坦方程下的守恒律，并在平直时空下正确还原为狭义相对论。

ABSTRACT

For a spacelike 2-surface in spacetime, we propose a new definition of quasi-local angular momentum and quasi-local center of mass, as an element in the dual space of the Lie algebra of the Lorentz group. Together with previous defined quasi-local energy-momentum, this completes the definition of conserved quantities in general relativity at the quasi-local level. We justify this definition by showing the consistency with the theory of special relativity and expectations on an axially symmetric spacetime. The limits at spatial infinity provide new definitions for total conserved quantities of an isolated system, which do not depend on any asymptotically flat coordinate system or asymptotic Killing field. The new proposal is free of ambiguities found in existing definitions and presents the first definition that precisely describes the dynamics of the Einstein equation.

研究动机与目标

• 解决广义相对论中定义准局部守恒量（尤其是角动量与质心）长期存在的模糊性问题。
• 提出一种不依赖渐近平坦坐标或渐近 Killing 时空场的定义，以克服现有定义的缺陷。
• 确保与狭义相对论一致，并在轴对称时空下符合已知的物理预期。
• 扩展准局部能量-动量框架，以完整补全准局部层次上的守恒量集合。
• 为孤立系统定义新的总守恒量，这些量在时空演化下保持不变，并满足守恒律。

提出的方法

• 通过将类空二维曲面 Σ 最优等距嵌入闵氏空间 ℝ³,¹，将参考空间中的 Killing 向量场回映射到物理时空。
• 利用参考闵氏空间中的平动与转动 Killing 向量场，将准局部角动量与质心定义为洛伦兹李代数对偶空间中的元素。
• 应用源自哈密顿-雅可比分析的规范条件，以消除嵌入的模糊性并确保唯一性。
• 通过涉及诱导度量 σ_ab、平均曲率向量 |H| 及法丛连接的微分形式 α_H 的曲面积分构造准局部量。
• 在空间无穷远处取极限，以定义总守恒量（能量-动量、角动量、质心），这些量独立于渐近坐标或 Killing 场。
• 通过验证在时间演化下总质心满足 ∂ₜCⁱ = pⁱ/p⁰ 且角动量守恒，确认其与真空爱因斯坦方程的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖渐近对称性或坐标系的前提下，构建广义相对论中准局部角动量与质心的统一且无歧义的定义？
• RQ2 所提出的准局部量在真空爱因斯坦方程演化下如何行为？是否满足守恒律？
• RQ3 新定义的总守恒量在平直时空下是否能正确还原为狭义相对论中的结果？
• RQ4 新定义是否在时空微分同胚变换下保持不变，并且独立于参考系或坐标系的选择？
• RQ5 新框架是否能完整捕捉爱因斯坦方程在守恒量层次上的动力学行为？

主要发现

• 在闵氏时空的任意类空超曲面上，新总角动量为零，与物理预期一致。
• 在真空爱因斯坦方程演化下，总角动量守恒，并且在克尔时空的所有严格类空超曲面上保持不变。
• 总质心按动力学公式 ∂ₜCⁱ(t) = pⁱ/p⁰ 演化，其中 p⁵ 为 ADM 能量-动量四维向量。
• 新定义的总守恒量在任意一阶真空渐近平坦初值数据集上均为有限且定义良好。
• 所提出的准局部角动量与质心完全避免了以往定义中由渐近坐标或 Killing 场引起的模糊性。
• 该框架通过从爱因斯坦约束与演化方程导出的守恒律与演化方程，完整捕捉了真空爱因斯坦方程的动力学行为。