[论文解读] Quasimaps, straightening laws, and quantum cohomology for the Lagrangian Grassmannian

James Ruffo|ArXiv.org|Jun 4, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文证明了德林费 尔德拉格朗日格拉斯曼流形中任意施伯特子簇的坐标环——该流形参数化从 $\mathbb{P}^1$ 到拉格朗日格拉斯曼流形的次数为 $d$ 的拟映射——是关于一个分配有序集（doset）的带标准化的代数。这表明这些子簇是科恩-麦克aul伊和科苏尔的，且由标准化法则导出的希尔伯特函数可推导出量子上同调交数的新表达式。

ABSTRACT

The Drinfel'd Lagrangian Grassmannian compactifies the space of algebraic maps of fixed degree from the projective line into the Lagrangian Grassmannian. It has a natural projective embedding arising from the canonical embedding of the Lagrangian Grassmannian. We show that the defining ideal of any Schubert subvariety of the Drinfel'd Lagrangian Grassmannian is generated by polynomials which give a straightening law on an ordered set. Consequentially, any such subvariety is Cohen-Macaulay and Koszul. The Hilbert function is computed from the straightening law, leading to a new derivation of certain intersection numbers in the quantum cohomology ring of the Lagrangian Grassmannian.

研究动机与目标

• 将标准单项式理论推广至德林费 尔德拉格朗日格拉斯曼流形，即拉格朗日格拉斯曼流形中拟映射的紧化空间。
• 建立该空间中施伯特子簇的坐标环为关于一个分配有序集（doset）的带标准化代数结构。
• 从标准化法则结构推导出几何性质，如科恩-麦克aul伊性、科苏尔性及有理奇点。
• 计算这些子簇的希尔伯特函数，并将其应用于推导拉格朗日格拉斯曼流形量子上同调环中的交数。

提出的方法

• 通过拉格朗日格拉斯曼流形的典范嵌入，将德林费 尔德拉格朗日格拉斯曼流形构造为一个射影代数簇。
• 利用普吕克坐标和指标对的序条件来定义施伯特子簇。
• 应用带标准化代数（ASL）理论，基于指标对的偏序集（poset）所导出的分配格结构。
• 利用标准化关系证明施伯特子簇的定义理想由满足ASL公理的二次多项式生成。
• 证明任意施伯特子簇的坐标环是多项式环模由标准化关系生成的理想之商，因此是科恩-麦克aul伊和科苏尔的。
• 从ASL的单项式基推导出希尔伯特函数，从而得出维数和次数的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 德林费 尔德拉格朗日格拉斯曼流形中任意施伯特子簇的坐标环是否具有关于一个分配有序集（doset）的带标准化代数结构？
• RQ2 这些施伯特子簇是否如ASL结构所预测的那样是科恩-麦克aul伊和科苏尔的？
• RQ3 能否从标准化法则显式计算出这些子簇的希尔伯特函数？
• RQ4 这些计算是否能导出拉格朗日格拉斯曼流形量子上同调环中交数的新表达式？
• RQ5 德林费 尔德拉格朗日格拉斯曼流形是否为霍奇代数，从而推广已知的德林费 尔德格拉斯曼流形结果？

主要发现

• 德林费 尔德拉格朗日格拉斯曼流形中任意施伯特子簇的坐标环是关于一个分配有序集（doset）的带标准化代数，这意味着该子簇是约化的、科恩-麦克aul伊的且科苏尔的。
• 每个施伯特子簇的希尔伯特函数可由ASL的单项式基计算得出，从而得到维数和次数的显式公式。
• 拉格朗日格拉斯曼流形的量子上同调交数通过标准化法则导出的希尔伯特函数被重新推导。
• 任何施伯特子簇的定义理想由满足标准化法则关系的二次多项式生成。
• 证明了德林费 尔德拉格朗日格拉斯曼流形本身是霍奇代数，推广了德林费 尔德格拉斯曼流形的结果。
• 由于局部上半模偏序集的序复形具有可壳化性，其指标对偏序集的面环是科恩-麦克aul伊的。