[论文解读] Quasimodular forms, Jacobi-like forms, and pseudodifferential operators

YoungJu Choie, Min-Ho Lee|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文通过构建从拟模形式到雅可比型形式的右逆（提升），建立了拟模形式、雅可比型形式与伪微分算子之间的深层联系，使得在拟模形式设定下能够研究李括号、Rankin-Cohen括号、Hecke算子与Shimura同构。其关键贡献是为半整权形式构造了Shintani提升与Shimura对应关系的拟模形式类比。

ABSTRACT

We study various properties of quasimodular forms by using their connections with Jacobi-like forms and pseudodifferential operators. Such connections are made by identifying quasimodular forms for a discrete subgroup $\G$ of $SL(2, \bR)$ with certain polynomials over the ring of holomorphic functions of the Poincaré upper half plane that are $\G$-invariant. We consider a surjective map from Jacobi-like forms to quasimodular forms and prove that it has a right inverse, which may be regarded as a lifting from quasimodular forms to Jacobi-like forms. We use such liftings to study Lie brackets and Rankin-Cohen brackets for quasimodular forms. We also discuss Hecke operators and construct Shimura isomorphisms and Shintani liftings for quasimodular forms.

研究动机与目标

• 通过多项式与形式幂级数构造，建立拟模形式、雅可比型形式与伪微分算子之间的统一框架。
• 解决在拟模形式设定下缺乏系统工具处理李括号、Rankin-Cohen括号与Hecke算子的问题。
• 将经典模形式对应关系（特别是Shimura同构与Shintani提升）推广至拟模形式情形，适用于半整权形式。
• 构建从拟模形式到雅可比型形式的右逆（提升），实现后者结构向前者转移。
• 确立所构造映射的Hecke等变性，确保与模形式算术理论的兼容性。

提出的方法

• 将权为 $w$、深度为 $m$ 的拟模形式识别为上半平面 $\mathcal{H}$ 上全纯函数上关于 $̳$-不变多项式 $F(z,X) = \sum_{r=0}^m f_r(z)X^r$。
• 构造从雅可比型形式（具有 $\Gamma$-不变系数的形式幂级数）到拟模形式的满射，并证明该映射存在右逆（提升）。
• 利用该提升转移结构：在拟模多项式空间上定义李代数结构与Rankin-Cohen括号。
• 通过多项式上 $SL(2,\mathbb{R})$ 的右作用定义拟模多项式上的Hecke算子，且与模形式上的标准Hecke算子相容。
• 引入半整权的拟模形式，并通过映射 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ 构造拟模形式的Shintani提升类比，该映射利用Gamma函数与模形式的导数定义。
• 建立一个交换图，将拟模形式Shintani映射与经典Shintani映射及 $\Xi^{2(\lambda+r)}_{m'-r}$ 算子联系起来，证明其Hecke等变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从拟模形式到雅可比型形式构造右逆（提升）？该提升保持何种结构？
• RQ2 如何利用雅可比型形式的提升来定义并研究拟模形式的李括号与Rankin-Cohen括号？
• RQ3 能否通过多项式上的 $SL(2,\mathbb{R})$-作用定义拟模形式上的Hecke算子，并证明其与模形式上的Hecke算子相容？
• RQ4 半整权形式的拟模形式Shimura同构与Shintani提升的类比是什么？
• RQ5 所构造的拟模形式Shintani映射 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ 是否为Hecke等变且与经典映射兼容？

主要发现

• 从拟模形式空间到雅可比型形式存在右逆（提升），使得诸如李括号与Rankin-Cohen括号等结构得以转移。
• 该提升使得拟模多项式空间上可构造李代数结构，并为拟模形式定义Rankin-Cohen括号。
• 拟模多项式上的Hecke算子通过 $SL(2,\mathbb{R})$-作用定义，且在到雅可比型形式的满射下保持Hecke等变性。
• 拟模形式Shintani提升映射 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ 是从 $QP_{2\lambda-1+2m}^{m-r}(\Gamma_0(M),\chi^2)$ 到 $QP_{2m'+\lambda-r}^{m'-r}(\Gamma_0(4M),\chi')$ 的Hecke等变 $\mathbb{C}$-线性映射。
• 映射 $\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ 与经典Shintani映射 $\Theta_{\lambda+r,\chi}$、$\mathfrak{S}_{m-r}$ 及 $\Xi^{2(\lambda+r)}_{m'-r}$ 构成交换图，证明其兼容性与Hecke等变性。
• 整体映射 $\bigoplus_{r=0}^{m}\operatorname{\text{${{}_{Q}}$}\Theta}^{m,m',r}_{\lambda,\chi}$ 是从 $QP_{2\lambda-1+2m}^{m}(\Gamma_0(M),\chi^2)$ 到 $\bigoplus_{r=0}^{m}QP_{2m'+\lambda-r}^{m'-r}(\Gamma_0(4M),\chi')$ 的Hecke等变 $\mathbb{C}$-线性映射。