[论文解读] Quasimodularity and large genus limits of Siegel-Veech constants

Dawei Chen, Martin Moeller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 8

一句话总结

本论文通过 Bloch-Okounkov q-Bracket 将加权环面覆盖与拟模形式联系起来，建立了阿贝尔微分主层中 Siegel-Veech 常数的拟模形式性质。利用由 Eisenstein 系数生成的生成函数与累积量展开式，证明了 Eskin-Zorich 关于 Masur-Veech 体积与 Siegel-Veech 常数在大亏格极限下的猜想。

ABSTRACT

Quasimodular forms were first studied in the context of counting torus coverings. Here we show that a weighted version of these coverings with Siegel-Veech weights also provides quasimodular forms. We apply this to prove conjectures of Eskin and Zorich on the large genus limits of Masur-Veech volumes and of Siegel-Veech constants. In Part I we connect the geometric definition of Siegel-Veech constants both with a combinatorial counting problem and with intersection numbers on Hurwitz spaces. We introduce modified Siegel-Veech weights whose generating functions will later be shown to be quasimodular. Parts II and III are devoted to the study of the quasimodularity of the generating functions arising from weighted counting of torus coverings. The starting point is the theorem of Bloch and Okounkov saying that q-brackets of shifted symmetric functions are quasimodular forms. In Part II we give an expression for their growth polynomials in terms of Gaussian integrals and use this to obtain a closed formula for the generating series of cumulants that is the basis for studying large genus asymptotics. In Part III we show that the even hook-length moments of partitions are shifted symmetric polynomials and prove a formula for the q-bracket of the product of such a hook-length moment with an arbitrary shifted symmetric polynomial. This formula proves quasimodularity also for the (-2)-nd hook-length moments by extrapolation, and implies the quasimodularity of the Siegel-Veech weighted counting functions. Finally, in Part IV these results are used to give explicit generating functions for the volumes and Siegel-Veech constants in the case of the principal stratum of abelian differentials. To apply these exact formulas to the Eskin-Zorich conjectures we provide a general framework for computing the asymptotics of rapidly divergent power series.

研究动机与目标

• 通过加权环面覆盖计数，建立阿贝尔微分主层中 Siegel-Veech 常数的拟模形式性质。
• 解决 Eskin-Zorich 关于 Masur-Veech 体积与 Siegel-Veech 常数在大亏格极限下的猜想。
• 利用 Hurwitz 空间上的交点理论与模形式，为 Siegel-Veech 常数与体积提供显式生成函数。
• 为分析大亏格极限，建立快速发散幂级数渐近展开的框架。
• 证明：移位对称多项式的 q-Bracket 与钩长矩生成拟模形式，通过外推法扩展至负指数。

提出的方法

• 利用 Bloch-Okounkov 定理，将移位对称函数的 q-Bracket 表示为拟模形式。
• 通过高斯积分与累积量生成函数，推导出 q-Bracket 增长多项式的闭合公式。
• 证明：整数分拆的偶数钩长矩为移位对称多项式，并计算其 q-Bracket 为 Eisenstein 系数导数的线性组合。
• 应用外推法定义 (−2)-阶钩长矩，从而为 Siegel-Veech 加权计数函数提供拟模形式性质。
• 通过伯努利数系数的幂级数反演，构建主层中 Siegel-Veech 常数与体积的生成函数。
• 将快速发散级数的一般渐近框架应用于生成函数，从中提取大亏格展开式。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿贝尔微分主层中的 Siegel-Veech 常数是否为拟模形式？
• RQ2 Masur-Veech 体积与主层中 Siegel-Veech 常数在大亏格下的渐近行为如何？
• RQ3 移位对称多项式与钩长矩乘积的 q-Bracket 是否可表示为 Eisenstein 系数导数的线性组合？
• RQ4 Siegel-Veech 常数的生成函数如何用模形式与幂级数反演表示？
• RQ5 在此背景下，由模形式导出的快速发散级数的渐近展开为何种形式？

主要发现

• 主层中 Siegel-Veech 常数的生成级数为拟模形式，通过 q-Bracket 恒等式与负指数外推法得以证明。
• 对于 $ p > 0 $，Siegel-Veech 常数 $ c_p^0({ m Tr}^n) $ 的主导渐近项由伯努利数与有理交点数的组合项之和给出。
• 当 $ p = -1 $ 时，主导项来自 $ X^{k+1} $ 项的额外贡献，其渐近结构因生成函数中 $ G_2^{(k-1)} $ 项的存在而不同。
• Masur-Veech 体积与 Siegel-Veech 常数之比的渐近展开，通过模形式的首项系数经 $ { m Ev} $-映射导出，从而证实了 Eskin-Zorich 猜想。
• Siegel-Veech 常数 $ C_p^0(u) $ 的生成函数表示为包含 $ G_{p+i+1}^{(i+k)} $ 与 $ p_2 $-算子累积量生成函数的双重求和。
• 利用快速发散级数的一般渐近框架计算级数渐近性态，主导项由伯努利数系数幂级数逆的展开中最高次项贡献决定。