[论文解读] Quasiperiodicities in Fibonacci strings

Michalis Christou, Maxime Crochemore+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2012

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文在这些准周期性结构必须是原字符串子串的约束下，识别了有限斐波那契串的所有左种子、右种子、种子和覆盖，以及循环斐波那契串的所有覆盖。通过斐波那契串的结构特性及其边界、周期和重叠关系，作者利用组合分析与递归串分解，推导出这些准周期性的精确表征，为斐波那契词中的此类结构提供了完整分类。

ABSTRACT

We consider the problem of finding quasiperiodicities in a Fibonacci string. A factor u of a string y is a cover of y if every letter of y falls within some occurrence of u in y. A string v is a seed of y, if it is a cover of a superstring of y. A left seed of a string y is a prefix of y that it is a cover of a superstring of y. Similarly a right seed of a string y is a suffix of y that it is a cover of a superstring of y. In this paper, we present some interesting results regarding quasiperiodicities in Fibonacci strings, we identify all covers, left/right seeds and seeds of a Fibonacci string and all covers of a circular Fibonacci string.

研究动机与目标

• 表征所有有限斐波那契串的左种子、右种子、种子和覆盖。
• 确定由斐波那契串首尾相连形成的循环斐波那契串的所有覆盖。
• 在这些准周期性结构必须是原串子串的约束下，为斐波那契串中的准周期性提供完整分类。
• 提出一种与先前工作（特别是 Iliopoulos 等人 [10]）不同的新组合方法，用于识别循环斐波那契串中的覆盖。
• 建立理论基础，有助于测试串算法，并可推广至Sturmian词。

提出的方法

• 利用斐波那契串的递归结构（定义为 $F_0 = b$，$F_1 = a$，$F_n = F_{n-1}F_{n-2}$，$n \geq 2$）来分析准周期性。
• 利用斐波那契串中边界、周期和重叠的性质，判断某一因子何时可作为覆盖或种子。
• 应用叠加技术，通过重叠长度建模子串如何覆盖斐波那契串的超串。
• 分析左种子和右种子作为前缀和后缀，覆盖形如 $yv$ 和 $vy$ 的扩展串的特性。
• 通过其覆盖形如 $xF_ny$ 的超串的能力来表征种子，其中 $x$ 是 $F_n$ 的后缀，$y$ 是 $F_n$ 的前缀，并利用递归斐波那契分解验证覆盖性。
• 通过考虑所有可能的重叠和长度约束（特别是 $m \in \{3, \dots, n-1\}$）推导出所有有效覆盖和种子的闭式描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 斐波那契串 $F_n$ 的所有左种子是什么？
• RQ2 斐波那契串 $F_n$ 的所有右种子是什么？
• RQ3 斐波那契串 $F_n$ 的所有覆盖是什么？
• RQ4 斐波那契串 $F_n$ 的所有种子是什么？
• RQ5 由 $F_n$ 的首尾字符相连形成的循环斐波那契串 $C(F_n)$ 的所有覆盖是什么？

主要发现

• 所有左种子的形式为 $F_n[1\mathinner{.}.|F_k|+i]$，其中 $k \in \{3, \dots, n-1\}$ 且 $i \in \{0, \dots, |F_{k-1}|-2\}$，前提是它们能通过重叠覆盖适当的超串。
• 所有作为 $C(F_n)$ 覆盖的右种子仅限于 $F_n$ 本身的覆盖；其他右种子无法覆盖超过其长度的扩展串。
• 所有 $C(F_n)$ 的覆盖包括：当 $n \in \{0,1,2,3\}$ 时为 $F_n$；当 $n=4$ 时为 $F_n$ 和 $F_{n-1}$；以及形如 $F_m x$、$xF_my$ 和 $xF_{m-1}F_my$ 的额外覆盖，其中 $m \in \{3, \dots, n-1\}$，并满足特定的长度和重叠约束。
• 形如 $xF_my$ 的种子（其中 $x$ 是 $F_m$ 的后缀，$y$ 是 $F_{m-1}$ 的前缀，且 $|x|+|y| \geq |F_m|$）若能通过适当的重叠覆盖 $F_n$ 的超串，则为 $C(F_n)$ 的有效覆盖。
• 当 $n \geq 5$ 时，$C(F_n)$ 的覆盖包括 $F_n$、$F_{n-1}$，以及涉及 $F_m$ 和 $F_{m-1}$ 的各种组合，其部分重叠满足总长度条件 $|x|+|y| \geq |F_m|$。
• 本文证明了 $F_n[1\mathinner{.}.|F_n|-1]$ 不是 $C(F_n)$ 的覆盖，因为其在斐波那契串扩展结构的限制下，无法覆盖长度超过 $|F_n|-1$ 的 $F_nF_n$ 的前缀。