[论文解读] Quasiregular dynamics on the n-sphere

Alastair Fletcher, Daniel A. Nicks|ArXiv.org|Sep 1, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 4

一句话总结

本论文通过分析拟正则映射的逃逸集 $I(f)$ 的边界，研究了在 $n$-球面上的拟正则动力系统。当 $f$ 为一致拟正则且非单射时，证明了 $\partial I(f)$ 是完备的，并与朱利亚集 $J(f)$ 重合，将经典复动力系统的结果推广至高维拟正则情形。

ABSTRACT

In this article, we investigate the boundary of the escaping set I(f) for quasiregular mappings on R^n, both in the uniformly quasiregular case and in the polynomial type case. The aim is to show that the boundary of I(f) is the Julia set J(f) when the latter is defined, and shares properties with the Julia set when J(f) is not defined.

研究动机与目标

• 研究当朱利亚集 $J(f)$ 未定义时，$\mathbb{R}^n$ 上拟正则映射的逃逸集 $I(f)$ 的边界。
• 确定 $\partial I(f)$ 是否具有朱利亚集典型的拓扑与动力性质，例如完备性。
• 建立在一致拟正则情形下 $\partial I(f)$ 与 $J(f)$ 重合的条件。
• 将复动力系统中的结果——特别是伊勒曼诺夫关于逃逸集边界即为朱利亚集的定理——推广至高维拟正则动力系统。

提出的方法

• 将逃逸集 $I(f)$ 定义为满足 $f^k(x) \to \infty$ 的点的集合。
• 运用里克曼的拟正则映射理论，特别是畸变概念与内膨胀系数 $K_I$。
• 应用蒙泰尔型定理（定理 2.4）分析迭代族的正规性，并刻画若尔当集与朱利亚集。
• 利用里克曼的常数 $q(n,K)$ 控制例外集的大小并控制逆轨道。
• 通过反证法证明 $\partial I(f) = J(f)$：假设 $x_0 \in \partial I(f)$ 属于若尔当集，则推出 $U_0 \subset I(f)$，与边界点的性质矛盾。
• 利用 $J(f) = \overline{O^{-}(x)}$（对任意 $x \in J(f)$）的事实，并证明 $J(f)$ 中任意点均非孤立点，从而证明其完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\mathbb{R}^n$ 上拟正则映射的逃逸集边界 $\partial I(f)$ 是完备的？
• RQ2 当拟正则映射的朱利亚集 $J(f)$ 有定义时，$\partial I(f)$ 是否与 $J(f)$ 重合？
• RQ3 即使 $J(f)$ 未定义，$\partial I(f)$ 的动力性质（如完备性与不变性）是否仍可确立？
• RQ4 多项式型拟正则映射的次数在决定 $I(f)$ 与 $\partial I(f)$ 结构方面起何种作用？
• RQ5 对于在无穷远处具有本性奇点的拟正则映射，逃逸集 $I(f)$ 是否总是非空的？

主要发现

• 对于度大于 $K_I$ 的 $K$-拟正则多项式型映射，逃逸集 $I(f)$ 非空且开集，且 $\partial I(f)$ 是完备的。
• $\partial I(f)$ 关于 $f$ 完全不变，且 $I(f)$、$\partial I(f)$ 与 $\mathbb{R}^n \setminus \overline{I(f)}$ 均为完全不变集。
• 在球面度量下，迭代族 $\{f^k\}$ 在 $I(f)$ 上一致连续，但在 $\partial I(f)$ 的任意点处均不一致连续。
• 对于非单射的一致拟正则映射，有 $\partial I(f) = J(f)$，且 $J(f)$ 是无限完备集。
• 朱利亚集 $J(f)$ 等于任意 $x \in J(f)$ 的逆轨道闭包 $\overline{O^{-}(x)}$，且 $J(f)$ 中无孤立点。
• 该结果将伊勒曼诺夫定理由复动力系统推广至高维拟正则动力系统，表明即使 $J(f)$ 未正式定义，$\partial I(f)$ 的行为仍类似于朱利亚集。