[论文解读] Quasisymmetric functions for nestohedra

Vladimir Grujić|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文引入了一种新的图的拟对称函数不变量 $ F_{\Gamma} $，其定义为有序着色的生成函数，并通过构建集的组合霍普夫代数实现为霍普夫代数同态。该文给出了基于顶点删除的 $ F_{\Gamma} $ 的递推关系，并证明了即使斯坦利的色对称函数失效时，$ F_{\Gamma} $ 也能区分非同构图，从而为图分类提供了严格更强的不变量。

ABSTRACT

For a generalized permutohedron $Q$ the enumerator $F(Q)$ of positive lattice points in interiors of maximal cones of the normal fan $Σ_Q$ is a quasisymmetric function. We describe this function for the class of nestohedra as a Hopf algebra morphism from a combinatorial Hopf algebra of building sets. For the class of graph-associahedra the corresponding quasisymmetric function is a new isomorphism invariant of graphs. The obtained invariant is quite natural as it is the generating function of ordered colorings of graphs and satisfies the recurrence relation with respect to deletions of vertices.

研究动机与目标

• 定义图的新拟对称函数不变量 $ F_{\Gamma} $，使其推广斯坦利的色对称函数。
• 将 $ F_{\Gamma} $ 建立为从构建集组合霍普夫代数到拟对称函数霍普夫代数的霍普夫代数同态。
• 基于顶点删除，为 $ F_{\Gamma} $ 提供一个递推关系，以实现有效计算。
• 证明 $ F_{\Gamma} $ 是比斯坦利的色对称函数 $ X_{\Gamma} $ 严格更强的不变量，能够区分具有相同 $ X_{\Gamma} $ 的非同构图。

提出的方法

• 将 $ F_{\Gamma} $ 定义为图 $ \Gamma $ 的有序着色的生成函数，其中颜色线性有序，且单色连通分支受更小颜色的约束。
• 构造构建集的组合霍普夫代数 $ \mathcal{B} $，并证明映射 $ B \mapsto F(P_B) $ 是到拟对称函数霍普夫代数的霍普夫代数同态。
• 利用 $ P $-分拆理论和拟对称函数上的对合作用，分析 $ F(P_B) $ 的结构。
• 建立递推关系 $ F_{\Gamma} = \sum_{v \in V} (F_{\Gamma \setminus \{v\}})_1 $，其中 $ (\cdot)_1 $ 是拟对称函数上的移位算子。
• 将 $ F(P_B) $ 与嵌套多面体 $ P_B $ 的顶点所关联的无标签有根树的多重集联系起来。
• 应用该递推关系，计算关键图关联多面体（排列多面体、关联多面体、循环多面体和星形多面体）的 $ F(Q) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 拟对称函数 $ F_{\Gamma} $ 能否作为图的完全不变量，特别是对树而言，类似于斯坦利对 $ X_{\Gamma} $ 的猜想？
• RQ2 与斯坦利的色对称函数 $ X_{\Gamma} $ 相比，$ F_{\Gamma} $ 在区分非同构图方面表现如何？
• RQ3 $ F_{\Gamma} $ 的代数结构是什么？它能否通过从构建集霍普夫代数出发的霍普夫代数同态被完全刻画？
• RQ4 构建集霍普夫代数 $ \mathcal{B} $ 是否满足广义的德恩-索米列维尔斯关系？

主要发现

• 该不变量 $ F_{\Gamma} $ 严格强于斯坦利的色对称函数：它能区分一对具有相同 $ X_{\Gamma} $ 的非同构五顶点图。
• 函数 $ F_{\Gamma} $ 满足递推关系 $ F_{\Gamma} = \sum_{v \in V} (F_{\Gamma \setminus \{v\}})_1 $，提供了有效的计算方法。
• 对于排列多面体 $ Pe^{n-1} $，有 $ F(Pe^{n-1}) = n(F(Pe^{n-2}))_1 $，且顶点数为 $ p_n = n! $。
• 对于关联多面体 $ As^{n-1} $，有 $ F(As^{n-1}) = \left( \sum_{k=1}^n F(As^{k-2})F(As^{n-k-1}) \right)_1 $，且顶点数为 $ a_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} $。
• 对于循环多面体 $ Cy^{n-1} $，有 $ F(Cy^{n-1}) = n(F(As^{n-2}))_1 $，且顶点数为 $ c_n = \binom{2n-2}{n-1} $。
• 对于星形多面体 $ St^{n-1} $，有 $ F(St^{n-1}) = \left( (n-1)F(St^{n-2}) + M_{(1)}^{n-1} \right)_1 $，且顶点数为 $ s_n = (n-1)! \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!} $。