[论文解读] Quasitoric Manifolds with Invariant Almost Complex Structure

Andrei Kustarev|ArXiv.org|Feb 2, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明了拟环丛流形 $M^{2n}$ 拥有 $T^n$-不变几乎复结构当且仅当它拥有正全向化。这种结构的存在性完全由底下面多面体的上同调决定，所有障碍均平凡地消失，且典型弱复结构与任何此类不变几乎复结构之间是等变等价的。

ABSTRACT

We prove that any quasitoric manifold $M^{2n}$ admits a $T^n$-invariant almost complex structure if and only if $M$ admits a positive omniorientation. In particular, we show that all obstructions to existence of $T^n$-invariant almost complex structure on $M^{2n}$ arise from cohomology of underlying polytope - and hence are trivial.

研究动机与目标

• 确定拟环丛流形上存在 $T^n$-不变几乎复结构的必要且充分条件。
• 解决戴维斯与贾努什基耶维奇（1991）提出的第7.6题，即以特征映射 $\lambda$ 的形式给出一个判别准则。
• 证明所有此类结构的存在障碍均为上同调障碍，且当全向化为正时，这些障碍全部消失。
• 确立任何 $T^n$-不变几乎复结构均与典型弱复结构等变等价。

提出的方法

• 通过轨道多面体 $P$ 的骨架进行归纳，将几乎复结构从低维分量逐步延拓。
• 为在 $i$-骨架上延拓结构，定义障碍类 $\sigma^i_J \in C^i(P, \pi_{i-1}(SO(2i)/U(i)))$。
• 利用管状邻域与边界球面的同伦理论论证，证明这些障碍是上循环。
• 由于多面体 $P$ 的同调群平凡，上循环 $\sigma^i_J$ 是上边界，因此可通过修改结构消除障碍。
• 利用同伦群同构 $\pi_{i-1}(SO(2i-2)/U(i-1)) \to \pi_{i-1}(SO(2i)/U(i))$（当 $i > 1$ 时）确保不同维度间的一致性。
• 通过 $\det(e_j) \cdot \det(\lambda_v)$ 定义不动点的符号，以刻画正全向化，并将其与结构的存在性关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 拟环丛流形 $M^{2n}$ 在何种条件下拥有 $T^n$-不变几乎复结构？
• RQ2 构造此类结构的障碍如何与轨道多面体 $P$ 的拓扑相关？
• RQ3 在等变等价意义下，典型弱复结构是否是唯一的 $T^n$-不变几乎复结构？
• RQ4 拟环丛流形是否可能在非代数或非辛流形的情况下拥有 $T^n$-不变几乎复结构？
• RQ5 正全向化在 $T^n$-不变几乎复结构的存在性中起何种作用？

主要发现

• 拟环丛流形 $M^{2n}$ 拥有 $T^n$-不变几乎复结构当且仅当它拥有正全向化。
• 所有此类结构的存在障碍均源于轨道多面体 $P$ 的上同调，且由于 $P$ 的同调群平凡，所有障碍均消失。
• 流形 $M$ 上的典型弱复结构与任何 $T^n$-不变几乎复结构之间是等变等价的。
• 当 $k$ 为奇数时，$\mathbb{C}P^2_k$ 拥有 $T^2$-不变几乎复结构，尽管它不是代数流形或辛流形。
• 当 $k$ 为偶数时，$\mathbb{C}P^2_k$ 不具有任何几乎复结构，这由 Todd亏格 $td = (k+1)/2$ 的非整数性所证明。
• 存在 $T^n$-不变几乎复结构并不意味着流形是代数或辛的，如 $k \geq 3$ 为奇数时的 $\mathbb{C}P^2_k$ 所示。