[论文解读] Quaternionic contact Einstein manifolds

Stefan Ivanov, Ivan Minchev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 11

一句话总结

本文证明了七维四元数接触爱因斯坦流形的qc-标量曲率为常数，解决了理论中长期存在的一个空白。通过qc共形曲率张量及先前结构方程的推广，作者通过一个平坦的竖直联络刻画了qc-爱因斯坦结构，并表明正则的、里奇平坦的qc-爱因斯坦流形纤维化于超凯勒流形，将已知结果从非零标量曲率情形推广至零标量曲率情形。

ABSTRACT

The main result is that the qc-scalar curvature of a seven dimensional quaternionic contact Einstein manifold is a constant. In addition, we characterize qc-Einstein structures with certain flat vertical connection and develop their local structure equations. Finally, regular qc-Ricci flat structures are shown to fibre over hyper-Kahler manifolds.

研究动机与目标

• 证明七维四元数接触爱因斯坦流形的qc-标量曲率为常数，解决先前工作中遗留的开放问题。
• 通过竖直分布上新定义的联络的平坦性，刻画qc-爱因斯坦结构。
• 以定义的1-形式、其外微分及qc-标量曲率表示，推导qc-爱因斯坦流形的显式结构方程。
• 将已知的纤维化结果从非零qc-标量曲率情形推广至零qc-标量曲率情形，表明正则的qc-里奇平坦结构纤维化于超凯勒流形。
• 证明任意非零qc-标量曲率的qc-爱因斯坦流形均存在两种爱因斯坦度量，一种局部为3-萨斯卡杨度量，另一种为“压扁”度量。

提出的方法

• 标量曲率常数性的证明依赖于qc共形曲率张量及库尔卡尼在四维情形下的曲率代数性质。
• 作者将先前结果（IMV, 定理1.21）推广，显式描述了四元数海森堡群开集上点态qc共形于平坦结构的qc-爱因斯坦结构。
• 在典范3维竖直分布上定义了一种新联络，并证明其平坦当且仅当流形为qc-爱因斯坦，从而提供了刻画。
• 通过定义1-形式、其外微分及qc-标量曲率，推导出qc-爱因斯坦流形的结构方程，推广了IV2与IV3中的结果。
• 通过分析由一参数族度量 $ h^ u $ 导出的黎曼几何（该度量源自比卡尔连接与qc-结构），建立了纤维化结果。
• 利用Levi-Civita连接与比卡尔连接之间的曲率差公式，计算了诱导度量 $ h^ u $ 的里奇曲率与标量曲率，得到了关于 $ S $ 与 $ u $ 的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 七维qc-爱因斯坦流形的qc-标量曲率是否必然为常数？
• RQ2 能否通过竖直分布上联络的平坦性来刻画qc-爱因斯坦结构？
• RQ3 qc-爱因斯坦流形的局部结构方程如何用微分形式与曲率表示？
• RQ4 正则的qc-里奇平坦结构是否纤维化于超凯勒流形，类似于非零标量曲率情形？
• RQ5 所有非零qc-标量曲率的qc-爱因斯坦流形是否都存在两种不同的爱因斯坦度量？

主要发现

• 七维qc-爱因斯坦流形的qc-标量曲率为常数，解决了定理1.1。
• qc-爱因斯坦结构由竖直分布上典范联络的平坦性刻画，提供了新的内在判据。
• qc-爱因斯坦流形的结构方程以定义1-形式、其外微分及qc-标量曲率显式写出，将先前结果推广至零标量曲率情形。
• 正则的qc-里奇平坦结构被证明纤维化于超凯勒流形，推广了非零标量曲率情形下的纤维化性质。
• 对于任意非零qc-标量曲率 $ S $ 的qc-爱因斯坦流形，一族度量 $ h^ u $ 产生两种爱因斯坦度量：一种为局部3-萨斯卡杨度量，另一种为“压扁”度量，二者均具有常数里奇曲率。
• 当 $ S = 0 $ 时，$ h^ u $ 的里奇曲率恰好有两个不同的常数特征值，重数分别为 $ 4n $ 与 $ 3 $，确认了里奇平坦情形下的结构。