[论文解读] Quaternionic contact Einstein structures and the quaternionic contact Yamabe problem

Stefan Ivanov, Ivan Minchev+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 56被引用 50

一句话总结

本文通过证明Biquard联络的扭率消失当且仅当水平Ricci张量的无迹部分为零，从而为(4n+3)-球面上的四元数接触Yamabe问题提供了部分解，而这种情况恰好出现在3-Sasakian流形上。本文刻画了所有使Biquard联络扭率消失的四元数Heisenberg群的共形变形，并通过四元数Cayley变换证明了球面与Heisenberg群上Yamabe问题的等价性。

ABSTRACT

A partial solution of the quaternionic contact Yamabe problem on the quaternionic sphere is given. It is shown that the torsion of the Biquard connection vanishes exactly when the trace-free part of the horizontal Ricci tensor of the Biquard connection is zero and this occurs precisely on 3-Sasakian manifolods. All conformal deformations sending the standard flat torsion-free quaternionic contact structure on the quaternionic Heisenberg group to a quaternionic contact structure with vanishing torsion of the Biquard connection are explicitly described. A '3-Hamiltonian form' of infinitesimal conformal automorphisms of quaternionic contact structures is presented.

研究动机与目标

• 解决四元数接触Yamabe问题，即在四元数接触结构的共形类中寻找具有常数qc-标量曲率的结构。
• 刻画Biquard联络扭率消失的条件，这是四元数接触几何中类似爱因斯坦行为的关键几何条件。
• 描述所有使Biquard联络扭率消失的四元数Heisenberg群上的共形变换，扩展了CR几何中的已知结果。
• 通过四元数Cayley变换建立(4n+3)-球面与四元数Heisenberg群上Yamabe问题的等价性。
• 引入无穷小共形微分同构的3-哈密顿形式，用于四元数接触结构。

提出的方法

• 使用Biquard联络——一种保持四元数接触结构及其Ricci张量与标量曲率的典范线性联络——来分析曲率与扭率性质。
• 应用散度公式与Bianchi恒等式，推导出Biquard联络扭率消失的条件。
• 将四元数Cayley变换用作(4n+3)-球面去掉一点与四元数Heisenberg群之间的共形微分同胚，从而将两空间上的Yamabe问题联系起来。
• 推导出Yamabe方程的形式为 $\mathcal{L}u = -\frac{n+1}{4(n+2)}u^{2^*-1}\overline{Scal}$，其中 $\mathcal{L}$ 为水平次Laplacian，且 $2^* = \frac{2Q}{Q-2}$，$Q = 4n+6$。
• 构造了四元数Heisenberg群上平坦无扭率四元数接触结构的显式共形变形，且保持扭率消失的条件。
• 引入无穷小共形微分同构的3-哈密顿形式，推广了CR情形，并为对称性分析提供了新工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 在四元数接触结构中，Biquard联络的扭率在何种条件下消失？
• RQ2 Biquard联络的水平Ricci张量的无迹部分在何时为零？哪些几何结构满足此条件？
• RQ3 四元数Heisenberg群上的哪些共形变换能保持Biquard联络扭率的消失？
• RQ4 通过四元数Cayley变换，(4n+3)-球面上的四元数接触Yamabe问题与四元数Heisenberg群上的问题有何关联？
• RQ5 3-哈密顿形式在刻画四元数接触结构的无穷小共形微分同构中起什么作用？

主要发现

• Biquard联络的扭率消失当且仅当其水平Ricci张量的无迹部分为零，这一条件刻画了3-Sasakian流形。
• 所有使四元数Heisenberg群上标准平坦无扭率四元数接触结构的Biquard联络保持无扭率的共形变形，均被显式描述为平移与伸缩的复合。
• 四元数Cayley变换是(4n+3)-球面去掉一点与四元数Heisenberg群之间的共形四元数接触微分同胚，从而建立了两空间上Yamabe问题的等价性。
• 四元数Heisenberg群上的Yamabe方程可简化为 $\mathcal{L}u = -\frac{n+1}{4(n+2)}u^{2^*-1}\overline{Scal}$，其中 $\mathcal{L}$ 为水平次Laplacian，且 $2^* = \frac{2(4n+6)}{4n+4}$。
• 球面上的标准接触形式 $\tilde{\eta}$ 与Heisenberg群上的标准形式 $\tilde{\Theta}$ 满足关系 $\lambda \cdot (\mathcal{C}^{-1})^*\tilde{\eta} \cdot \bar{\lambda} = \frac{8}{|1+p'|^2}\tilde{\Theta}$，表明两者在常数与自同构意义下共形等价。
• 本文证明了球面与Heisenberg群上的标准四元数接触结构均为qc-Einstein，且保持qc-Einstein条件的共形变换被完全刻画。