[论文解读] Quaternionic Fourier-Mellin Transform

Eckhard Hitzer|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了四元数傅里叶-梅林变换（QFMT），这是将经典傅里叶-梅林变换推广至从 ℝ² 映射到四元数 ℍ 的函数的版本。通过利用四元数代数和正交二维平面分解（OPS），QFMT 实现了对二维信号的尺度和旋转不变性分析，尤其在彩色图像处理和纹理分析中表现出色，因其内在的二维结构与对称性分解能力。

ABSTRACT

In this contribution we generalize the classical Fourier Mellin transform [S. Dorrode and F. Ghorbel, Robust and efficient Fourier-Mellin transform approximations for gray-level image reconstruction and complete invariant description, Computer Vision and Image Understanding, 83(1) (2001), 57-78, DOI 10.1006/cviu.2001.0922.], which transforms functions $f$ representing, e.g., a gray level image defined over a compact set of $\mathbb{R}^2$. The quaternionic Fourier Mellin transform (QFMT) applies to functions $f: \mathbb{R}^2 ightarrow \mathbb{H}$, for which $|f|$ is summable over $\mathbb{R}_+^* imes \mathbb{S}^1$ under the measure $dθ\frac{dr}{r}$. $\mathbb{R}_+^*$ is the multiplicative group of positive and non-zero real numbers. We investigate the properties of the QFMT similar to the investigation of the quaternionic Fourier Transform (QFT) in [E. Hitzer, Quaternion Fourier Transform on Quaternion Fields and Generalizations, Advances in Applied Clifford Algebras, 17(3) (2007), 497-517.; E. Hitzer, Directional Uncertainty Principle for Quaternion Fourier Transforms, Advances in Applied Clifford Algebras, 20(2) (2010), 271-284, online since 08 July 2009.].

研究动机与目标

• 将经典傅里叶-梅林变换推广至具有四元数输出的函数，以实现在二维空间中的高级信号表示。
• 利用四元数的代数结构，特别是正交二维平面分解（OPS），将信号分解为具有物理意义的分量。
• 开发一种在尺度与旋转变换下保持不变的变换，适用于鲁棒的目标识别与图像配准。
• 通过其内在的二维特性，证明 QFMT 在分析二维纹理与彩色图像方面优于复值变换。
• 为未来向克利福德代数、加窗变换及数值实现的扩展奠定基础。

提出的方法

• 将 QFMT 定义为在 ℝ₊×𝕊¹ 上的积分变换，使用测度 dθ (dr/r)，将 f: ℝ² → ℍ 映射至四元数值变换域。
• 利用相对于两个纯单位四元数 f 和 g 的正交二维平面分解（OPS），将信号分解为 q₊ 和 q₋ 分量。
• 应用指数映射 e^{αf} q e^{βg} 推导出在旋转与缩放下保持结构的变换恒等式。
• 使用由 OPS 衍生的正交基 {1+fg, f−g, 1−fg, f+g} 表示任意四元数 q ∈ ℍ，实现系数分解。
• 将 QFMT 核构造为四部分的叠加，分别对应于径向与角向反射下的对称类型（ee, eo, oe, oo）。
• 利用 QFMT 的结构实现尺度与旋转不变性，其模在这些变换下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典傅里叶-梅林变换推广以处理二维信号处理中的四元数值函数？
• RQ2 QFMT 核在径向（r → 1/r）与角向（θ → −θ）反射下的对称性特性是什么？
• RQ3 QFMT 的内在二维结构如何相较于复值傅里叶-梅林变换提升纹理与形状分析性能？
• RQ4 正交二维平面分解（OPS）在将变换分解为可物理解释的分量中起到何种作用？
• RQ5 QFMT 是否可扩展至克利福德代数 Cl(p,q)，并应用于超复积分与图像配准任务？

主要发现

• QFMT 的模在尺度与旋转变换下保持不变，从而实现对物体描述的鲁棒不变性。
• QFMT 天然地将信号分离为四类对称分量——ee、eo、oe、oo，基于径向与角向反射对称性。
• QFMT 核表现出尺度不变性，并在不同 (v,k) 值下呈现出不同的角向与径向分辨率模式，如图 8 和图 9 所示。
• QFMT 在结构上等价于两个具有相反绕向的准复值 FMT 的叠加，如定理 2.4 所形式化。
• 由于其内在的二维特性，QFMT 在分析二维纹理方面优于复值二维傅里叶-梅林变换，如图 5 所示。
• QFMT 的核结构表明，q₊ 与 q₋ 分量分别对应于正交平面，其中 q₊ 分量在 f()g 映射下保持不变，该映射在 q₋ 平面上表现为 180° 旋转。