[论文解读] Quaternions and dynamics

Basile Graf|ArXiv.org|Nov 18, 2008

Robotic Mechanisms and Dynamics被引用 42

一句话总结

本文提供了一个关于四元数及其在刚体动力学中应用的自包含介绍，强调了其在避免奇点和实现紧凑、可手工计算的公式方面相较于欧拉角的优势。文中推导了在惯性系与非惯性系中旋转速度、角动量和动能的关键关系，并给出了使用四元数代数在不同参考系之间变换旋转速度的显式公式。

ABSTRACT

We give a simple and self contained introduction to quaternions and their practical usage in dynamics. The rigid body dynamics are presented in full details. In the appendix, some more exotic relations are given that allow to write more complex models, for instance, the one of a satellite with inertial wheels and expressed in a non-inertial reference frame. As it is well known, one nice advantage of quaternions over Euler angles, beside the usual arguments, is that it allows to write down quite complex dynamics completely by hand.

研究动机与目标

• 为动力学应用提供一个自包含的、实用的四元数入门，特别适用于航空航天和机器人领域。
• 通过展示四元数在表示空间旋转方面的优越性，解决欧拉角的局限性，如万向节锁问题。
• 推导并呈现使用四元数的刚体完整动力学，包括角动量和动能的表达式。
• 通过在非惯性参考系中建立动力学形式，将该形式拓展至复杂系统，如带有反作用轮的卫星。
• 通过四元数代数实现完全的解析推导，使复杂动力学模型可完全手工推导，避免数值复杂性。

提出的方法

• 使用基本四元数恒等式 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ 定义非交换乘法，并推导四元数乘积公式。
• 通过共轭运算 $x' = \bar{q} \circ x \circ q$ 表示旋转，其中 $x = (0, \vec{x})$ 是表示三维向量的纯四元数。
• 使用关系 $\vec{\omega} = 2 \cdot \dot{q} \circ \bar{q}$ 在固定系和本体系中表示旋转速度，并正确实现参考系之间的变换。
• 通过四元数导数推导旋转矩阵 $R$ 的时间导数，从而实现以 $q$ 和 $\dot{q}$ 表示的动力学建模。
• 应用链式法则和矩阵乘积记法，组合多个参考系之间的旋转速度，例如从惯性系到轨道系再到本体系。
• 使用变换 $\vec{\omega}^\prime_{\text{Inertial}} = R^T \vec{\omega}_o + \vec{\omega}^\prime_{\text{NonInertial}}$ 将非惯性模型中的动力学联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用四元数表示空间旋转以避免奇点？其数学基础是什么？
• RQ2 四元数导数与惯性系和本体系中角速度之间的关系是什么？
• RQ3 如何使用四元数代数在多个参考系之间组合旋转速度？其结果变换公式是什么？
• RQ4 如何在非惯性参考系中使用四元数表达刚体的动能和角动量？
• RQ5 从欧拉角到四元数的显式映射是什么？与基于四元数的动力学公式相比有何差异？

主要发现

• 通过单位四元数 $q = (\cos(\varphi/2), \sin(\varphi/2)\vec{n})$ 对三维向量 $\vec{x}$ 进行旋转，结果为 $\vec{x}^\prime = R\vec{x}$，其中 $R$ 是标准旋转矩阵。
• 本体系中的角速度由 $\vec{\omega}^\prime = 2 \cdot \dot{q} \circ \bar{q}$ 给出，该表达式可通过 $R^T$ 正确地在参考系之间变换。
• 多参考系间旋转速度的组合得到 $\vec{\omega}^\prime_{\text{Inertial}} = R^T \vec{\omega}_o + \vec{\omega}^\prime_{\text{NonInertial}}$，从而实现在非惯性模型中的一致动力学。
• 非惯性模型中的动能通过 $\vec{\omega}^\prime_{\text{Inertial}}$ 计算，该量结合了轨道旋转和本体相对运动。
• 欧拉角可通过 $\mathbf{q} = \mathbf{q}_\phi \circ \mathbf{q}_\theta \circ \mathbf{q}_\psi$ 转换为四元数，其分量以半角三角函数显式表示。
• 该方法允许完全通过手工推导复杂动力学模型（如带反作用轮的卫星）的动力学，仅依赖四元数代数。