[论文解读] Quaternions, polarizations and class numbers

Víctor Rotger|ArXiv.org|Nov 6, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文利用Eichler的最优嵌入理论与CM域的相对类数，建立了在全实域上具有四元数乘法的阿贝尔簇上主极化存在性与计数的数论准则。研究证明，在偶数维时，非同构主极化的数量可无界增长；而在奇数且无平方因子的维数下，其数量被统一有界于$2^{g-1}$，从而解决了关于此类极化有限性的一个长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We study abelian varieties $A$ with multiplication by a totally indefinite quaternion algebra over a totally real number field and give a criterion for the existence of principal polarizations on them in pure arithmetic terms. Moreover, we give an expression for the number $π_0(A)$ of isomorphism classes of principal polarizations on $A$ in terms of relative class numbers of CM fields by means of Eichler's theory of optimal embeddings. As a consequence, we exhibit simple abelian varieties of any even dimension admitting arbitrarily many non-isomorphic principal polarizations. On the other hand, we prove that $π_0(A)$ is uniformly bounded for simple abelian varieties of odd square-free dimension.

研究动机与目标

• 确定在全实数域上具有完全非退化四元数代数乘法的阿贝尔簇上主极化的存在性与计数。
• 通过Eichler的最优嵌入理论，将主极化同构类的数量$\pi_0(A)$用CM域的相对类数表达出来。
• 解决简单阿贝尔簇在维数$g$下是否可拥有任意多个非同构主极化的问题。
• 为奇数且无平方因子维数的简单阿贝尔簇建立$\pi_0(A)$的统一有界性。

提出的方法

• 作者利用Eichler的最优嵌入理论，将主极化计数的几何问题转化为涉及CM域中阶的算术问题。
• 他们将$\pi_0(A)$表示为在CM域$F(\sqrt{-D})$中包含$R_F[\sqrt{-D}]$的阶$S$上的求和，权重为类数$h(S)$。
• 关键公式为$\pi_0(A) = \frac{1}{2}\sum_S h(S)$，其中$D$是最大阶$\mathcal{O}$的约化判别式理想的全正生成元。
• 通过Brauer-Siegel定理，应用类数理论中的分析工具——特别是CM域相对类数的渐近界与估计。
• 证明利用Čebotarev密度定理，构造出具有互素判别式与不同微分的全正理想$D_j$，以确保相应四元代数与阿贝尔簇的存在性。
• 在奇数维情形下，论证通过Lange的方法，结合CM域中单位群与范数的结构，将$\pi_0(A)$有界于$2^{g-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有四元数乘法的偶数维阿贝尔簇是否可拥有任意多个非同构主极化？
• RQ2 在奇数且无平方因子维数下，简单阿贝尔簇上主极化的数量是否统一有界？
• RQ3 此类阿贝尔簇上主极化同构类数量的精确算术公式是什么？
• RQ4 CM域的相对类数如何与四元数阿贝尔簇上主极化的几何结构相关联？

主要发现

• 对于全实域$F$上完全非退化四元数代数中最大阶的复阿贝尔簇$A$（维数为$2n$），有$\pi_0(A) = \frac{1}{2}\sum_S h(S)$，其中$S$遍历$F(\sqrt{-D})$中包含$R_F[\sqrt{-D}]$的阶。
• 在阿贝尔曲面情形（$g=2$）下，若$D \equiv 3 \pmod{4}$，则$\pi_0(A) = \frac{h(-4D)+h(-D)}{2}$；否则为$\frac{h(-4D)}{2}$。
• 在偶数维$g$下，存在简单阿贝尔簇使得$\pi_0(A)$可任意大，这通过构造满足$|\mathrm{N}_{F/\mathbb{Q}}(D)| \to \infty$的族，并应用类数渐近估计得以证明。
• 在奇数且无平方因子维数$g$下，有$\pi_0(A) \leq 2^{g-1}$，且仅在特定单位群条件下可能取等。
• 对$\pi_0(A)$的对数增长满足$\log \pi_0(A) \sim \log \sqrt{|\mathrm{N}_{F/\mathbb{Q}}(D)| \cdot D_F}$，该结果由Brauer-Siegel定理在类数上的应用推导得出。
• 奇数无平方因子维数下的有界性是精确的，其推导基于对单位群结构与CM域中范数的分析，将Lange的早期有界性结果推广至四元数情形。