[论文解读] Qudit circuits with SU(d) symmetry: Locality imposes additional conservation laws

Iman Marvian, Hanqing Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2021

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 7

一句话总结

该论文表明，对于具有 SU(d) 对称性的 qudit 系统，当 d ≥ 3 时，2-局部 SU(d)-不变单位门电路生成的对称单位门集合受到限制，这是由于除诺特定理所给出的守恒律之外，还存在额外的守恒律。这些涌现的守恒律将动力学限制在不可约表示子空间内，导致电路生成的分布无法成为 2-设计或收敛到哈尓测度，这与 d=2（qubit）情形不同。

ABSTRACT

Local symmetric quantum circuits provide a simple framework to study the dynamics and phases of complex quantum systems with conserved charges. However, some of their basic properties have not yet been understood. Recently, it has been shown that such quantum circuits only generate a restricted subset of symmetric unitary transformations [I. Marvian, Nature Physics, 2022]. In this paper, we consider circuits with 2-local SU(d)-invariant unitaries acting on qudits, i.e., d-dimensional quantum systems. Our results reveal a significant distinction between the cases of d = 2 and d>2. For qubits with SU(2) symmetry, arbitrary global rotationally-invariant unitaries can be generated with 2-local ones, up to relative phases between the subspaces corresponding to inequivalent irreducible representations (irreps) of the symmetry, i.e., sectors with different angular momenta. On the other hand, for d>2, in addition to similar constraints on the relative phases between the irreps, locality also restricts the generated unitaries inside these conserved subspaces. These constraints impose conservation laws that hold for dynamics under 2-local SU(d)-invariant unitaries, but are violated under general SU(d)-invariant unitaries. Based on this result, we show that the distribution of unitaries generated by random 2-local SU(d)-invariant unitaries does not converge to the Haar measure over the group of all SU(d)-invariant unitaries, and in fact, for d>2, is not even a 2-design for the Haar distribution.

研究动机与目标

• 理解在具有 SU(d) 对称性的 qudit 量子电路中，局域性所施加的动力学约束。
• 识别 2-局部 SU(d)-不变单位门是否能生成所有对称单位门变换，特别是当 d ≥ 3 时。
• 确定由随机 2-局部 SU(d)-不变电路生成的单位门分布是否收敛到 SU(d)-不变单位门群上的哈尓测度，或是否构成 2-设计。
• 揭示由于局域性而在 SU(d) 对称系统中涌现的新守恒律，尤其区分 d=2 与 d≥3 的情况。

提出的方法

• 利用 SU(d) 的表示理论分析 2-局部 SU(d)-不变门生成的单位门群结构。
• 通过 qudit-fermion 对应关系识别守恒量，将 qudit 系统映射为具有非平凡守恒律的有效费米子模型。
• 构造在 2-局部 SU(d)-不变单位门下不变，但不在一般 SU(d)-不变单位门下不变的显式函数，揭示新的守恒律。
• 利用 SU(d)-不变门生成元的李代数结构，刻画生成单位门群的代数约束。
• 通过设计理论标准（如 2-设计）将电路生成的单位门分布与 SU(d)-不变单位门群上的哈尓测度进行比较。
• 利用文献 [3] 和 [29] 的结果，完全刻画由对换生成的李子代数，并将其与新守恒律关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 d ≥ 3，2-局部 SU(d)-不变单位门电路是否能生成所有 SU(d)-不变单位门，还是存在额外约束？
• RQ2 SU(d)-对称 qudit 电路中的守恒律在 d=2 与 d≥3 之间有何不同？
• RQ3 是否存在由于局域性而在 SU(d)-不变 qudit 系统中涌现的新守恒律（非诺特型）？
• RQ4 由随机 2-局部 SU(d)-不变电路生成的单位门分布是否收敛到 SU(d)-不变单位门群上的哈尓测度？
• RQ5 对于 d ≥ 3，电路生成的单位门集合是否构成 SU(d)-不变单位门群上哈尓分布的 2-设计？

主要发现

• 当 d ≥ 3 时，2-局部 SU(d)-不变单位门电路生成的单位门集合是所有 SU(d)-不变单位门的真子群，这是由于除了不可约表示之间的相对相位约束之外，还存在额外守恒律。
• 这些新守恒律甚至限制了单个不可约表示子空间内的动力学，而这种现象在 d=2（SU(2)）情况下并不存在。
• 对于 d ≥ 3，由随机 2-局部 SU(d)-不变电路生成的单位门分布不会收敛到 SU(d)-不变单位门群上的哈尓测度。
• 当 d ≥ 3 时，电路生成的单位门集合甚至不是哈尓分布的 2-设计，表明其与均匀性存在根本性偏离。
• 守恒律通过 qudit-fermion 对应关系被揭示：2-局部 SU(d) 电路映射为非相互作用费米子系统，而 3-局部电路则映射为相互作用系统。
• 由 2-局部 SU(d)-不变门生成的完整群由三类约束刻画：不可约表示之间的相对相位约束、Z₂ 对称性约束，以及基于 qudit-fermion 对应关系的守恒律。