[论文解读] Quenched central limit theorem for the stochastic heat equation in weak disorder

Yannic Broeker, Chiranjib Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文在弱噪声条件下，针对 $d \geq 3$ 的随机热方程建立了淬灭中心极限定理，证明了扩散缩放后的聚合物路径测度几乎必然收敛于标准正态分布。通过使用重正化的费曼-海克公式与矩收敛技术，证明当 $\beta > 0$ 足够小时，聚合物测度下缩放布朗运动的淬灭分布，在长时间极限下收敛于标准正态分布。

ABSTRACT

We continue with the study of the mollified stochastic heat equation in $d\geq 3$ given by $d u_{ε,t}=\frac 12Δu_{ε,t}+ βε^{(d-2)/2} \,u_{ε,t} \,d B_{ε,t}$ with spatially smoothened cylindrical Wiener process $B$, whose (renormalized) Feynman-Kac solution describes the partition function of the continuous directed polymer. In an earlier work (\cite{MSZ16}), a phase transition was obtained, depending on the value of $β>0$ in the limiting object of the smoothened solution $u_ε$ as the smoothing parameter $ε o 0$ This partition function naturally defines a quenched polymer path measure and we prove that as long as $β>0$ stays small enough while $u_ε$ converges to a strictly positive non-degenerate random variable, the distribution of the diffusively rescaled Brownian path converges under the aforementioned polymer path measure to standard Gaussian distribution.

研究动机与目标

• 在弱噪声条件下，为 $d \geq 3$ 的连续定向聚合物建立淬灭中心极限定理。
• 分析由截断随机热方程解定义的聚合物路径测度的长时间行为。
• 证明在淬灭测度下，缩放后的聚合物路径分布几乎必然收敛于标准正态分布。
• 通过严格的随机偏微分方程技术，将离散聚合物结果推广至连续设定。

提出的方法

• 使用带时空白噪声的截断随机热方程，通过光滑截断核 $\phi_\varepsilon$ 进行正则化。
• 应用费曼-海克公式，将解表示为布朗运动路径上的随机指数泛函的期望。
• 利用时间反转技巧，将解与连续定向聚合物的配分函数联系起来。
• 采用矩生成函数技术与多变量埃米特多项式展开，分析矩的收敛性。
• 应用重正化程序处理发散噪声，移除依赖于 $\varepsilon$ 的 $V_\varepsilon(0)$ 项。
• 在矩上使用归纳法，证明在淬灭测度下收敛于高斯矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 在长时间极限下，淬灭测度下扩散缩放后的聚合物路径是否收敛于高斯分布？
• RQ2 在弱噪声条件下，是否可为 $d \geq 3$ 的连续随机热方程建立淬灭中心极限定理？
• RQ3 在淬灭测度下，缩放后聚合物路径的矩如何收敛？
• RQ4 噪声强度 $\beta$ 在决定极限分布中起什么作用？
• RQ5 能否对噪声的每个固定实现都证明几乎必然收敛？

主要发现

• 当 $d \geq 3$ 且 $\beta > 0$ 足够小时，扩散缩放后聚合物路径的淬灭分布几乎必然收敛于标准正态分布。
• 收敛性通过所有矩几乎必然收敛于标准正态分布的矩得到证明。
• 该证明依赖于在淬灭测度下，缩放路径的矩收敛于标准正态随机向量对应矩的证明。
• 关键技术步骤涉及使用埃米特多项式展开与系数匹配的矩归纳论证。
• 该结果对每个固定的时空白噪声实现均成立，确认了淬灭极限定理。
• 重正化的费曼-海克解确保 $\mathbb{E}[u_\varepsilon(t,x)] = 1$，这对矩分析至关重要。