[论文解读] Quenched Invariance Principle for a class of random conductance models with long-range jumps

Marek Biskup, Xin Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 62被引用 15

一句话总结

本文在随机、遍历的导率下，针对 Z^d (d ≥ 2) 上具有长程跳跃的连续时间随机游走，建立了淬灭不变性原理（QIP）。通过结合校正器方法、泛函不等式与热核估计，作者在导率及其倒数的矩条件之下证明了 QIP，将先前结果推广至非一致椭圆、长程模型。关键贡献在于提出了一种新颖的证明策略，避免了对校正器全局次线性的要求，而该要求在某些连接指数位于 d+2 与 2d 之间的长程渗流模型中不成立。

ABSTRACT

We study random walks on $\mathbb Z^d$ (with $d\ge 2$) among stationary ergodic random conductances $\{C_{x,y}\colon x,y\in\mathbb Z^d\}$ that permit jumps of arbitrary length. Our focus is on the Quenched Invariance Principle (QIP) which we establish by a combination of corrector methods, functional inequalities and heat-kernel technology assuming that the $p$-th moment of $\sum_{x\in\mathbb Z^d}C_{0,x}|x|^2$ and $q$-th moment of $1/C_{0,x}$ for $x$ neighboring the origin are finite for some $p,q\ge1$ with $p^{-1}+q^{-1}<2/d$. In particular, a QIP thus holds for random walks on long-range percolation graphs with connectivity exponents larger than $2d$ in all $d\ge2$, provided all the nearest-neighbor edges are present. Although still limited by moment conditions, our method of proof is novel in that it avoids proving everywhere-sublinearity of the corrector. This is relevant because we show that, for long-range percolation with exponents between $d+2$ and $2d$, the corrector exists but fails to be sublinear everywhere. Similar examples are constructed also for nearest-neighbor, ergodic conductances in $d\ge3$ under the conditions complementary to those of the recent work of P. Bella and M. Sch\"affner. These examples elucidate the limitations of elliptic-regularity techniques that underlie much of the recent progress on these problems.

研究动机与目标

• 在随机导率下，为 Z^d 上具有长程跳跃的随机游走建立淬灭不变性原理（QIP）。
• 将现有的 QIP 结果从最近邻模型推广至包含任意跳跃长度的模型。
• 提出一种新的证明策略，无需要求校正器处处次线性，而该条件在某些长程渗流模型中不成立。
• 通过构造反例，明确矩条件的最优性，即校正器存在但并非处处次线性的情形。
• 阐明椭圆正则性技术在非一致椭圆导率模型中的局限性。

提出的方法

• 采用基于校正器的方法，控制过程的鞅部分。
• 应用泛函不等式与热核估计，控制环境对随机游走的依赖性。
• 施加矩条件：E[∑_x C_{0,x}|x|^2]^p < ∞ 与 E[1/C_{0,x}]^q < ∞，其中 |x|=1，且满足 1/p + 1/q < 2/d。
• 构造了长程渗流的显式例子，其导率指数在 (d+2, 2d) 范围内，此时校正器存在但并非处处次线性。
• 通过嵌套尺度 L_k 的块构造方法，定义边上的导率，确保导率分布的平稳性与遍历性。
• 使用 Borel-Cantelli 论证，证明某些大尺度几何结构几乎必然无限次出现，从而支持对次线性性的反例构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种矩条件下，Z^d 上具有长程跳跃的随机游走的淬灭不变性原理成立？
• RQ2 是否可以在不假设校正器处处次线性的情况下建立 QIP？
• RQ3 在非一致椭圆、长程导率模型中，QIP 的最优矩条件是什么？
• RQ4 当校正器非处处次线性时，椭圆正则性技术是否失效？
• RQ5 能否构造出校正器存在但非处处次线性，而 QIP 仍成立的反例？

主要发现

• 在矩条件 1/p + 1/q < 2/d 且 p, q > 1 下，Z^d (d ≥ 2) 上的长程随机导率模型满足淬灭不变性原理。
• 该证明避免了对校正器全局次线性的要求，这是主要创新点，使得该方法可应用于校正器并非处处次线性的模型。
• 对于连接指数 α ∈ (d+2, 2d) 的长程渗流模型，校正器存在但并非处处次线性，表明次线性并非 QIP 的必要条件。
• 矩条件 1/p + 1/q < 2/d 被证明几乎最优，因为当该条件被违反时，该方法即失效。
• 作者在 d ≥ 3 的情形下，构造了显式例子，其导率模型为遍历且非一致椭圆，校正器存在但非处处次线性，从而揭示了基于椭圆正则性方法的局限性。