[论文解读] Quenched large deviations for multidimensional random walk in random environment: a variational formula

Jeffrey M. Rosenbluth|ArXiv.org|Apr 9, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 22

一句话总结

本论文通过极小化极大定理方法，而非次可加遍历定理，为多维最近邻随机环境中的随机游走建立了 quenched 大偏差原理。在仅要求环境具有遍历性及矩条件的前提下，推导出 quenched 速率函数的变分公式，扩展了以往需假设嵌套或均匀椭圆环境的结果。

ABSTRACT

We take the point of view of the particle in a multidimensional nearest neighbor random walk in random environment (RWRE). We prove a quenched large deviation principle and derive a variational formula for the quenched rate function. Most of the previous results in this area rely on the subadditive ergodic theorem. We employ a different technique which is based on a minimax theorem. Large deviation principles for RWRE have been proven for i.i.d. nestling environments subject to a moment condition and for ergodic uniformly elliptic environments. We assume only that the environment is ergodic and the transition probabilities satisfy a moment condition.

研究动机与目标

• 在弱于以往工作的假设下，为多维最近邻随机环境中的随机游走建立 quenched 大偏差原理。
• 在不依赖次可加遍历定理的前提下，推导出 quenched 速率函数的变分公式。
• 通过去除对均匀椭圆或嵌套环境假设的需求，扩展现有结果。
• 采用极小化极大定理与遍历理论技术，分析对数矩生成函数。
• 为满足矩条件 $\int |\log p(\omega,e)|^{d+\alpha} < \infty$（对某个 $\alpha > 0$）的遍历环境，提供一个通用框架。

提出的方法

• 采用从粒子视角观察环境的方法，将环境建模为具有遍历族的可交换保测变换的概率空间。
• 应用极小化极大定理（Ky Fan）推导对数矩生成函数的界，避免依赖次可加性。
• 利用多变量遍历定理与等度连续性论证，分析矩生成函数的收敛性。
• 定义一个上鞅 $R_n = \exp(\theta X_n + \sum_{j=1}^n F(X_{j-1},X_j) - n\lambda)$，以推导指数矩界。
• 通过对偶性推导速率函数的变分公式，使用集合 $A$（即 $R_n$ 为上鞅的 $ (\theta, \lambda) $ 对）。
• 利用条件期望与 $\mathcal{E}_k$-可测函数的逼近，优化变分表达式中的转移概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设均匀椭圆或嵌套环境的前提下，为多维 RWRE 建立 quenched 大偏差原理？
• RQ2 在仅具有遍历性与环境矩条件的前提下，quenched 速率函数的结构是什么？
• RQ3 当次可加遍历定理不适用时，如何利用极小化极大定理推导大偏差界？
• RQ4 在缺乏均匀椭圆性的情况下，quenched 速率函数与对数矩生成函数之间有何关系？
• RQ5 速率函数的变分公式如何与环境的遍历性质及转移概率结构相关联？

主要发现

• 在仅要求遍历性与矩条件 $\int |\log p(\omega,e)|^{d+\alpha} < \infty$（对某个 $\alpha > 0$）的前提下，为多维最近邻 RWRE 建立了 quenched 大偏差原理。
• quenched 速率函数由变分公式给出：$I(x) = \sup_{\lambda} \{ \theta x - \lambda \}$，其中 $\theta = \sup \{ \theta : (\theta, \lambda) \in A \}$，集合 $A$ 由上鞅条件定义。
• 该证明避免使用次可加遍历定理，转而依赖极小化极大定理与遍历理论，从而具备更广的适用性。
• 证明表明速率函数是凸的且下半连续的，且该变分公式与一维情形下的已知结果一致。
• 在一维情形下，所推导的速率函数与先前结果等价，验证了该方法在简化设定下的有效性。
• 该方法给出了变分问题中最佳转移概率的精确表达式：$q^*(e) \propto \exp(\langle \lambda, e \rangle + \mathbb{E}[\log p(e) + h - T_e h \mid \mathcal{E}_k])$。