[论文解读] Quenched localisation in the Bouchaud trap model with regularly varying traps

David A. Croydon, Stephen Muirhead|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文在整数格点上建立了具有规则变尾陷阱分布（尾指数 α ∈ (0,1]）的Bouchaud陷阱模型的 quenched 局域化行为。结果表明，对于几乎所有陷阱景观实现，随着时问增加，系统在完全局域化（站点概率上确界达到1）与完全非局域化（上确界降至0）之间无限振荡。该结果揭示了在陷阱分布尾部厚重程度不同的情况下，均匀化与强无序态之间的显著相变。

ABSTRACT

This article describes the quenched localisation behaviour of the Bouchaud trap model on the integers with regularly varying traps. In particular, it establishes that for almost every trapping landscape there exist arbitrarily large times at which the system is highly localised on one site, and also arbitrarily large times at which the system is completely delocalised.

研究动机与目标

• 分析在Z上具有重尾陷阱分布的Bouchaud陷阱模型中的quenched局域化行为。
• 建立几乎对所有陷阱景观实现下，系统在单个站点高度局域化与完全非局域化之间无限交替的结论。
• 展示在quenched行为中，从有限均值陷阱的均匀化区域到无限均值陷阱的强无序区域之间存在显著相变。
• 通过证明站点概率分布上确界在0与1之间无限次振荡，拓展了先前关于局域化的结论。

提出的方法

• 该模型被定义为在Z上以与站点特异性陷阱时间σx成反比的转移速率构成的连续时间马尔可夫过程。
• 陷阱分布满足P(σ₀ ≥ u) = u⁻ᵅ（u ≥ 1），且α ∈ (0,1]，意味着具有指数为−α的规则变尾。
• 分析使用了耦合论证和首次 hitting 时间的估计，特别是通过有效电阻与电网络理论。
• 关键估计涉及对大小为2aₙ的区间内Eₓᵣ(τ(x,2aₙ))的期望 hitting 时间进行有界，利用陷阱景观结构与调和测度。
• 通过构造引理来控制区间内陷阱值的最大值与总和，从而对离开某区域的期望时间建立界限。
• 证明结合了概率耦合、马尔可夫性质以及陷阱景观的渐近分析，表明supₓ Pσ(Xₜ = x)的liminf与limsup几乎必然分别为0和1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有规则变陷阱的Z上Bouchaud陷阱模型中，quenched律下是否表现出局域化与非局域化之间的无限振荡？
• RQ2 对于具有无限均值的陷阱分布（α ≤ 1），当t → ∞时，supₓ Pσ(Xₜ = x)的quenched渐近行为如何？
• RQ3 在有限均值陷阱（α > 1）与无限均值陷阱（α ≤ 1）的区域中，quenched局域化行为有何不同？
• RQ4 对于α ∈ (0,1]，站点概率上确界的liminf与limsup是否可分别表征为0与1？
• RQ5 当陷阱尾部重到具有无限均值时，quenched动力学是否表现出显著相变？

主要发现

• 对于几乎所有陷阱景观σ，当t → ∞时，supₓ Pσ(Xₜ = x)的liminf为0，表明系统会无限次经历完全非局域化。
• 对于几乎所有σ，当t → ∞时，supₓ Pσ(Xₜ = x)的limsup为1，表明系统会无限次在单个站点达到最大局域化。
• 该结果在陷阱分布具有指数为−α（α ∈ (0,1]）的规则变尾的假设下成立，作者推测该结论可推广至更一般的重尾分布。
• 相比之下，当E[σ₀] < ∞（即α > 1）时，系统趋于均匀化，且supₓ Pσ(Xₜ = x) → 0（当t → ∞），表明在α = 1处存在显著相变。
• 本文证实，quenched动力学表现出局域化程度的极端波动，概率质量函数在最大无序与最大集中之间无限次振荡。
• 分析表明，系统在任意大的时间点，可能既高度局域化，又完全非局域化，具体取决于随机陷阱景观的实现。