[论文解读] Query-to-Communication Lifting Using Low-Discrepancy Gadgets

Arkadev Chattopadhyay, Yuval Filmus+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新的提升定理，建立了所有对数规模低差异设备的查询复杂度与通信复杂度之间的联系，扩展了以往仅限于特定设备（如内积）的研究结果。主要贡献是提出了一种使用低差异设备的一般提升框架，使得能够从查询复杂度下界推导出更广泛函数类的随机通信复杂度下界。

ABSTRACT

Lifting theorems are theorems that relate the query complexity of a function $f:\\{0,1\\}^{n}\ o\\{0,1\\}$ to the communication complexity of the composed function $f \\circ g^{n}$, for some "gadget" $g:\\{0,1\\}^{b}\ imes\\{0,1\\}^{b}\ o\\{0,1\\}$. Such theorems allow transferring lower bounds from query complexity to the communication complexity, and have seen numerous applications in the recent years. In addition, such theorems can be viewed as a strong generalization of a direct-sum theorem for the gadget $g$. We prove a new lifting theorem that works for all gadgets $g$ that have logarithmic length and exponentially-small discrepancy, for both deterministic and randomized communication complexity. Thus, we significantly increase the range of gadgets for which such lifting theorems hold. Our result has two main motivations: First, allowing a larger variety of gadgets may support more applications. In particular, our work is the first to prove a randomized lifting theorem for logarithmic-size gadgets, thus improving some applications of the theorem. Second, our result can be seen as a strong generalization of a direct-sum theorem for functions with low discrepancy.

研究动机与目标

• 将提升定理从内积设备的特殊情形推广到所有对数规模的低差异设备。
• 建立一个通用的提升框架，将函数 f 的查询复杂度与 f∘gⁿ 的通信复杂度联系起来，其中 g 为任意低差异设备。
• 通过扩大适用设备的范围，使提升定理在通信复杂度中有新的应用。
• 通过证明低差异设备在确定性和随机通信模型中均支持强直接求和性质，推广直接求和定理。

提出的方法

• 引入基于缺陷的分析方法，以追踪在通信环境中模拟查询协议时的信息损失。
• 定义一种缺陷度量，结合熵项和自由变量计数，以限制通信协议中的查询次数。
• 利用设备的低差异性，限制协议模拟过程中危险或泄露值出现的概率。
• 分析模拟协议的每一步，表明消息传输使缺陷增加 O(log(1/p_M))，而查询步骤使其减少 Ω(b·|I|)。
• 证明总缺陷有界且非负，从而得出查询复杂度上界为 O((C + b)/b)，其中 C 为通信代价。
• 利用设备的指数级小差异性和对数规模，确保每次查询带来的缺陷减少量超过消息传输引起的增加量，从而实现提升结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将提升定理从内积设备推广到所有对数规模的低差异设备？
• RQ2 何种设备条件可确保在随机设置下，查询复杂度下界能提升为通信复杂度下界？
• RQ3 如何利用基于缺陷的分析方法来限制通信模拟中查询协议的查询次数？
• RQ4 低差异设备在多大程度上支持通信复杂度中的强直接求和性质？
• RQ5 该提升框架能否在不改变设备约束的前提下，同时适用于确定性和随机通信复杂度？

主要发现

• 本文证明了所有对数规模低差异设备的随机提升定理，显著推广了以往仅限于内积函数的研究结果。
• 缺陷分析表明，每次消息传输使缺陷最多增加 O(log(1/p_M) + 1)，而每次查询步骤使缺陷减少 Ω(b·|I|)，从而确保查询次数有界。
• 通信协议中的总查询次数被限制在 O((C + b)/b) 以内，其中 C 为通信代价，b 为设备大小。
• 该框架同时支持确定性和随机通信复杂度，极大地扩展了提升定理在更广泛函数类中的适用性。
• 该结果意味着直接求和定理的强推广，因为它表明低差异设备本质上支持通信协议中的信息论压缩。
• 该分析在设备具有指数级小差异性和对数规模的条件下成立，这一条件被大量自然函数所满足。