[论文解读] Questions and dependency in intuitionistic logic

Ivano Ciardelli, Iemhoff, Rosalie+1 more|Utrecht University Repository (Utrecht University)|Apr 6, 2017

Logic, Reasoning, and Knowledge被引用 14

一句话总结

本文提出了一种直觉主义团队语义框架，将直觉主义逻辑扩展为包含问题和依赖公式的形式，利用克里普克模型中的团队来捕捉信息状态。其主要贡献在于：在保持经典形式下，对直觉主义逻辑进行了保守扩展，实现了正规形式、完备性，并实现了向经典疑问性逻辑和模态依赖逻辑的翻译，既保留了核心逻辑特征，又揭示了非经典环境下的新颖语义行为。

ABSTRACT

In recent years, the logic of questions and dependencies has been investigated in the closely related frameworks of inquisitive logic and dependence logic. These investigations have assumed classical logic as the background logic of statements, and added formulas expressing questions and dependencies to this classical core. In this paper, we broaden the scope of these investigations by studying questions and dependency in the context of intuitionistic logic. We propose an intuitionistic team semantics, where teams are embedded within intuitionistic Kripke models. The associated logic is a conservative extension of intuitionistic logic with questions and dependence formulas. We establish a number of results about this logic, including a normal form result, a completeness result, and translations to classical inquisitive logic and modal dependence logic.

研究动机与目标

• 以保留其构造性本质的方式，将问题和依赖公式扩展到直觉主义逻辑中。
• 建立基于直觉主义克里普克模型的团队语义框架，其中团队代表信息状态。
• 建立直觉主义逻辑在问题和依赖关系上的保守扩展，确保与构造性推理的兼容性。
• 探讨问题和依赖关系在非经典、直觉主义语境下的行为，揭示诸如非平凡预设和单元素团队中依赖失效等新型语义现象。
• 提供向经典疑问性逻辑和模态依赖逻辑的翻译，支持跨框架比较并实现结果的转移。

提出的方法

• 提出一种直觉主义团队语义，其中公式的满足性相对于克里普克模型中世界集合的团队来定义，而非单个世界。
• 在该基于团队的框架中，定义陈述、问题（例如 ?p）和依赖原子（例如 = (p,q)）的满足条件。
• 引入该逻辑的析取范式，表明每个公式都等价于一组最大一致析取原子的析取。
• 通过提供一个仅在双否定律上不同于经典疑问性逻辑的、声音且完备的希尔伯特式公理化系统，建立该逻辑的完备性。
• 开发从直觉主义疑问性逻辑（InqI）到经典疑问性逻辑和模态依赖逻辑的翻译，保留语义内容。
• 使用具有根结构的克里普克模型来建模部分信息和信息细化状态，从而区分直觉主义与经典语义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保留其构造性语义的前提下，形式化地将问题和依赖关系整合到直觉主义逻辑中？
• RQ2 在直觉主义克里普克模型中，问题和依赖原子的语义特性是什么，特别是关于预设和真值间隙方面？
• RQ3 经典疑问性逻辑中的关键结果（如范式和完备性）在直觉主义语境下在多大程度上仍然成立？
• RQ4 尽管析取（∨）和疑问性析取（≥）在真值条件行为上相同，为何它们在直觉主义团队语义中表现出不同的逻辑特性？
• RQ5 直觉主义疑问性逻辑能否被保守扩展，并翻译为经典疑问性逻辑和模态依赖逻辑？

主要发现

• 所提出的逻辑是直觉主义命题逻辑的保守扩展，保留了基底逻辑的所有有效陈述，同时增强了对问题和依赖关系的表达能力。
• 在直觉主义语境下，析取范式结果依然成立，如同在经典情况下一样，使得每个公式都可以重写为规范的析取形式。
• 该逻辑在仅省略双否定律的希尔伯特式公理化系统下是声音且完备的，与经典疑问性逻辑仅在这一点上不同。
• 即使是最简单的极性问题如 ?p，在直觉主义语义中也具有非平凡预设，意味着它们在不完整的信息状态中无法总是被真实地解决。
• 在直觉主义语境下，依赖原子可能在单元素团队中不成立，揭示了其与经典团队语义的根本差异。
• 析取 ∨ 和疑问性析取 ≥ 在真值条件行为上完全相同，但在直觉主义团队语义中表现出不同的逻辑属性，凸显了信息结构在真值之外的重要作用。