[论文解读] Questions on provisional Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ gauge theories

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 12

一句话总结

本文研究了三维 $σ=4$ 规范理论中临时Coulomb分支的基础性质，重点探讨其通过辛对偶性和秩-级对偶性与Higgs分支之间的对偶性。利用Quiver簇和几何不变性理论，分析了奇点和层结构，表明即使其中一个分支为点而另一个分支为奇异分支，Coulomb与Higgs分支仍可能表现出非平凡对偶性，关键例子揭示了不连通的层结构和非平凡的横截切片。

ABSTRACT

This is a supplement to [arXiv:1503.03676], where an approach towards a mathematically rigorous definition of the Coulomb branch of a $3$-dimensional $\mathcal N=4$ SUSY gauge theory was proposed. We ask questions on their expected properties, especially in relation to the corresponding Higgs branch, partly motivated by the interpretation of the level rank duality in terms of quiver varieties [arXiv:0809.2605] and the symplectic duality [arXiv:1407.0964]. We study questions in a few examples.

研究动机与目标

• 研究三维 $σ=4$ 规范理论中临时Coulomb分支的预期几何与表示论性质。
• 探索Coulomb与Higgs分支之间的对偶性，特别是与辛对偶性和秩-级对偶性的关系。
• 利用Quiver簇中的例子，分析Coulomb与Higgs分支中层结构与奇点的结构。
• 确定Higgs分支中的奇异层是否可作为其他规范理论的Higgs分支实现，类似地，Coulomb分支是否亦然。
• 阐明横截切片与子理论的Coulomb/Higgs分支之间的关系，特别是在层结构不连通的情况下。

提出的方法

• 使用移位辛几何与消失循环的框架，将Coulomb分支定义为满足moment映射方程的解的模空间。
• 应用几何不变性理论（GIT）商，将Coulomb分支构造为 $μ^{-1}(0)/ / /G$，分析稳定性与奇点。
• 分析仿射A型Quiver簇的情形，此时Higgs与Coulomb分支均为Quiver簇，并通过I. Frenkel的秩-级对偶性将其关联。
• 研究商空间中层的结构，特别是当稳定子为平凡，或 $i$ 与 $j$ 的秩均为1时，导致奇点集。
• 研究奇异点处的横截切片，并与更简单规范理论的Coulomb与Higgs分支进行比较。
• 使用表示论与Koszul对偶性，关联与对偶辛流形相关的范畴 $Ω$ 与 $Ω^!$。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个规范理论的Higgs分支层是否可自然地识别为另一个规范理论的Higgs分支，特别是当这些层不连通时？
• RQ2 Coulomb分支中奇异点处的横截切片是否同构于更简单规范理论的Coulomb分支？
• RQ3 当一个分支为点而另一个为奇异分支时，辛对偶性如何关联Higgs与Coulomb分支？
• RQ4 Coulomb分支的层在多大程度上反映了对应Higgs分支的结构，特别是在非孤立不动点的情况下？
• RQ5 在这些例子中，范畴 $Ω$ 与 $Ω^!$ 之间的Koszul对偶性是否可通过Higgs-Coulomb对偶性实现几何化？

主要发现

• 在三维 $σ=4$ 规范理论中，即使Higgs分支为点，Coulomb分支仍可为非平凡，体现了对偶性中的根本不对称性。
• 在 $N=2$ 情形下，Higgs分支有三个层：一个光滑区域和两个奇异点，奇异点对应于 $A_1$ 奇点。
• 层 $(\mathbf{M}/\!\!/\!/G)_{\{e\}}$ 可能不连通，当 $N=2$ 时有两个分支，表明层不一定是连通的。
• 对于 $N=2$，Higgs分支中每个奇异点的横截切片是平凡的，同构于 $\{0\}/\{e\}$，这对应于平凡规范理论的Coulomb分支。
• A_1奇点的Higgs分支同构于平凡规范理论的Coulomb分支，暗示奇点与平凡理论之间存在对偶性。
• 本文表明，对于 $D_N$ 型奇点，可计算 $H\!P_0(\mathcal{M}_C)$ 与 $I\!H^*(\mathcal{M}_C)$，但 $I\!H^*(\mathcal{M}_H)$ 与 $H\!P_0(\mathcal{M}_H)$ 仍未知。