[论文解读] Queue Layouts of Graphs with Bounded Degree and Bounded Genus

Vida Dujmović, Pat Morin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文将最大度Δ的平面图的队列数上界从O(Δ⁶)改进为O(Δ²)，并将结果推广至具有有界欧拉亏格和有界度的图，证明其队列数为O(g + Δ²)。该方法基于平面子图构造与基于层的队列布局扩展，建立了平面图与有界欧拉亏格图之间队列数上界的一般关联。

ABSTRACT

Motivated by the question of whether planar graphs have bounded queue-number, we prove that planar graphs with maximum degree $Δ$ have queue-number $O(Δ^{2})$, which improves upon the best previous bound of $O(Δ^6)$. More generally, we prove that graphs with bounded degree and bounded Euler genus have bounded queue-number. In particular graphs with Euler genus $g$ and maximum degree $Δ$ have queue-number $O(g+Δ^{2})$. As a byproduct we prove that if planar graphs have bounded queue-number, then graphs of Euler genus $g$ have queue-number $O(g)$.

研究动机与目标

• 改进已知的有界最大度平面图队列数上界。
• 将该上界推广至有界欧拉亏格与有界度的图。
• 建立平面图与有界欧拉亏格图之间队列数上界的一般关联。
• 探究平面图的有界队列数是否意味着高亏格图的有界队列数。

提出的方法

• 通过在每个BFS层中移除至多2g个顶点的集合Z，从给定的欧拉亏格为g、最大度Δ的图G中构造一个平面子图G′。
• 将定理2（一个关于最大度Δ的平面图的O(Δ²)队列布局的新结果）作为黑箱使用，得到G′的3k-队列布局，其中k = 12Δ² + 16Δ + 3。
• 利用G的BFS分层V₀, V₁, ..., Vₜ组织顶点，并根据顶点在排序中的相对位置将边分配至队列。
• 通过系统交替方案（Sᵢ和Tᵢ队列）将与Z中顶点关联的边分配至4g个新队列，以避免嵌套。
• 利用引理10，该引理指出：若k-队列布局在分层下成立，则顶点按层排序时可导出3k-队列布局。
• 证明定理4，表明若某个遗传类𝒢中的所有平面图的队列数不超过k，则该类中欧拉亏格为g的图的队列数不超过3k + 4g。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面图在最大度Δ下能否将队列数上界改进至低于Bekos等人提出的O(Δ⁶)？
• RQ2 具有有界欧拉亏格与有界度的图是否具有有界队列数？
• RQ3 平面图与高欧拉亏格图之间是否存在一般性的队列数关系？
• RQ4 若平面图具有有界队列数，是否意味着有界欧拉亏格图也具有有界队列数？

主要发现

• 任意最大度Δ的平面图的队列数至多为12Δ² + 16Δ + 3，优于先前的O(Δ⁶)上界。
• 欧拉亏格g与最大度Δ的图的队列数至多为4g + 36Δ² + 48Δ + 9，即O(g + Δ²)。
• 若每个平面图的队列数至多为k，则每个欧拉亏格为g的图的队列数至多为3k + 4g，建立了平面图与高亏格图之间的直接联系。
• 该结果意味着具有有界欧拉亏格与有界度的图具有有界轨数，并可实现线性体积的3D网格绘图。
• 证明技术依赖于在每个BFS层中移除O(g)个顶点来构造平面子图，并通过分层与系统队列分配扩展队列布局。
• 对于最大度Δ的平面图，O(Δ²)的上界在常数因子内是紧的，因为一般有界度图存在Ω(√Δ n^{1/2−1/Δ})的下界。