[论文解读] Queueing networks with a single shared server: light and heavy traffic

Marko Boon, R.D. van der Mei+1 more|TU/e Research Portal|Aug 1, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对具有单一共享服务器、门控服务和客户路由的排队网络中平均等待时间的闭式近似方法。通过推导出轻载和重载情况下的精确极限，并在两者之间进行插值，该方法在所有负载条件下均提供了准确且可扩展的估计，通过包括切换时间在内的串行队列等数值例子进行了验证。

ABSTRACT

We study a queueing network with a single shared server, that serves the queues in a cyclic order according to the gated service discipline. External customers arrive at the queues according to independent Poisson processes. After completing service, a customer either leaves the system or is routed to another queue. This model is very generic and finds many applications in computer systems, communication networks, manufacturing systems and robotics. Special cases of the introduced network include well-known polling models and tandem queues. We derive exact limits of the mean delays under both heavy-traffic and light-traffic conditions. By interpolating between these asymptotic regimes, we develop simple closed-form approximations for the mean delays for arbitrary loads.

研究动机与目标

• 分析具有单一共享服务器、门控服务和概率性客户路由的广义排队网络。
• 推导在轻载和重载条件下平均等待时间的精确渐近表达式。
• 通过在轻载和重载极限之间插值，开发一种简单且闭式的平均延迟近似方法，适用于所有系统负载水平。
• 通过数值例子（包括具有切换时间的串行队列配置）验证近似的准确性。

提出的方法

• 将系统建模为具有门控服务和客户路由的轮询网络，其中每个客户在服务后被路由至另一队列或离开系统。
• 基于路由概率和服务时间矩，使用线性方程推导总负载和有效服务时间。
• 通过周期时间分析和长度加权抽样建立重载极限，得出当 ρ→1 时平均等待时间的闭式表达式。
• 通过条件化客户来源（外部或路由而来）推导轻载极限，得到当 ρ↓0 时的闭式表达式。
• 构建基于插值的近似：$ W_i^{\text{approx}} = \frac{w_i^{\text{LT}} + (w_i^{\text{HT}} - w_i^{\text{LT}})\rho}{1 - \rho} $，确保在 ρ=0 和 ρ→1 时完全精确。
• 使用具有确定性切换时间与路由概率的三队列串行模型对近似进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在重载条件下，具有客户路由的单服务器排队网络中，平均等待时间的行为如何？
• RQ2 当系统负载接近零时，平均等待时间的精确轻载极限是什么？
• RQ3 能否通过结合轻载和重载极限，构造一种简单闭式的近似方法，以准确估计所有负载水平下的平均等待时间？
• RQ4 路由结构如何影响平均等待时间对服务时间和切换时间等系统参数的依赖性？
• RQ5 所提出的插值近似是否满足平均等待时间的伪守恒定律等结构性性质？

主要发现

• 当 $ \rho \uparrow 1 $ 时，队列 $ i $ 的平均等待时间的重载极限为 $ (1 - \rho)\mathbb{E}[W_i] \to \left(r + \frac{\tilde{b}^{(2)}}{2\delta\tilde{b}^{(1)}}\right)\frac{\delta_i}{\tilde{b}_i\hat{\gamma}_i} $，表明其对访问顺序不敏感，仅依赖于总切换时间和有效服务时间矩。
• 当 $ \rho \downarrow 0 $ 时，队列 $ i $ 的平均等待时间的轻载极限为 $ \mathbb{E}[W_i] \to \frac{\lambda_i}{\gamma_i}\frac{r^{(2)}}{2r} + \sum_{j=i-N}^{i-1}\frac{\gamma_j p_{j,i}}{\gamma_i}\sum_{k=j}^{i-1}r_k $，反映了剩余切换时间和路由延迟的影响。
• 所提出的插值近似 $ W_i^{\text{approx}} $ 在 $ \rho \downarrow 0 $ 和 $ \rho \uparrow 1 $ 时均精确，并满足平均等待时间的伪守恒定律。
• 数值结果表明，在所有负载水平下均具有高精度，三队列示例中 $ \rho = 0.1 $ 和 $ \rho = 0.9 $ 时相对误差低于 2%，$ \rho = 0.01 $ 和 $ \rho = 0.99 $ 时低于 1%。
• 该模型能很好地推广至特殊情形，如串行队列和反馈系统，如 $ p_{1,3} = p_{2,3} = p_{3,0} = 1 $ 的数值示例所示。
• 即使引入切换时间，近似仍保持鲁棒性，如 $ r_1 = 0, r_2 = r_3 = 2 $ 的示例所示。