[论文解读] Quick Streaming Algorithms for Maximization of Monotone Submodular Functions in Linear Time

Alan Kuhnle|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用 5

一句话总结

本论文提出了首个在基数约束下针对单调子模最大化问题的确定性流算法，具备线性时间与查询复杂度。所提出的QuickStream算法在单次遍历中仅使用$\lceil n/c \rceil + c$个预言机查询，即可实现常数近似比；而QS+BR在常数次遍历中实现了近乎最优的$1 - 1/e - \varepsilon$近似比，两者在效率与实际目标值方面均优于以往方法。

ABSTRACT

We consider the problem of monotone, submodular maximization over a ground set of size $n$ subject to cardinality constraint $k$. For this problem, we introduce the first deterministic algorithms with linear time complexity; these algorithms are streaming algorithms. Our single-pass algorithm obtains a constant ratio in $\lceil n / c ceil + c$ oracle queries, for any $c \ge 1$. In addition, we propose a deterministic, multi-pass streaming algorithm with a constant number of passes that achieves nearly the optimal ratio with linear query and time complexities. We prove a lower bound that implies no constant-factor approximation exists using $o(n)$ queries, even if queries to infeasible sets are allowed. An empirical analysis demonstrates that our algorithms require fewer queries (often substantially less than $n$) yet still achieve better objective value than the current state-of-the-art algorithms, including single-pass, multi-pass, and non-streaming algorithms.

研究动机与目标

• 设计首个具有线性时间复杂度的单调子模最大化（SMCC）确定性流算法。
• 在函数评估成本高昂的场景下，以最少的预言机查询实现常数近似比。
• 开发一种多轮流算法，几乎达到最优的$1 - 1/e$比值，同时保持线性查询与时间复杂度。
• 通过实证结果证明，所提算法在目标值与查询效率方面优于现有单轮、多轮及非流式算法。
• 建立理论下界，证明即使允许不可行集合查询，使用$o(n)$次查询也无法实现常数因子近似，从而确立所提算法查询复杂度的最优性。

提出的方法

• 提出QuickStream，一种单轮流算法，按大小为$c$的批次处理元素，维护一个候选解，并通过边际增益查询选择元素。
• 采用一种后处理启发式方法BoostRatio，在初始遍历后提升解的质量，增强近似比。
• 提出QS+BR，一种多轮算法，结合批次处理与增强阶段，迭代优化解，实现近乎最优的$1 - 1/e - \varepsilon$比值。
• 提出一种新颖的分析框架，将QuickStream的近似比界定在$1/(4c) - \varepsilon$，随着$k \to \infty$，渐近提升至$(1 - 1/e)/(c + 1)$。
• 设计一种内存高效的存储结构，仅存储$O(ck\log k\log(1/\varepsilon))$个元素，支持在大规模数据集上进行流式部署。
• 通过仅对可行且增长的集合调用预言机，实施查询削减策略，显著减少昂贵的函数评估次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性流算法，在线性时间与查询复杂度下实现单调子模最大化问题的常数近似比？
• RQ2 是否可能设计一种单轮流算法，在使用少于$n$次预言机查询的同时，保持具有竞争力的近似比？
• RQ3 能否设计一种多轮确定性流算法，实现近乎最优的$1 - 1/e - \varepsilon$近似比，同时保持线性查询复杂度？
• RQ4 在流模型中，实现常数因子近似所需的最少查询次数的理论下界是什么？
• RQ5 所提算法在目标值、查询次数与内存使用方面，与最先进方法相比有何实证表现？

主要发现

• QuickStream在$\lceil n/c \rceil + c$次预言机查询与$O(n)$时间复杂度下，实现至少$1/(4c) - \varepsilon$的近似比，是首个针对SMCC的线性时间确定性流算法。
• 当$c = 1$时，QuickStream++在小规模$k$实例上实现平均目标值为标准贪心算法的0.99倍，优于C&K、SieveStream++与P-Pass。
• QS+BR在常数次遍历中实现近乎最优的$1 - 1/e - \varepsilon$比值，仅需$O(n/\varepsilon)$次预言机查询与$O(n)$时间，是首个实现此目标且具备线性查询复杂度的确定性算法。
• 实证结果表明，QuickStream的查询次数显著少于SieveStream++（通常低于$n$），且目标值更高，甚至在某些情况下优于非流式LTL算法。
• QuickStream的内存使用量始终控制在$k$的常数倍以内，且当$k$较大时，其内存使用量低于SieveStream++。
• 理论下界证明，即使允许不可行集合查询，使用$o(n)$次查询也无法实现常数因子近似，从而确立了所提算法查询复杂度的最优性。