[论文解读] Quickest Detection for a Poisson Process with a Phase-type Change-time Distribution

Erhan Bayraktar, Semih Sezer|ArXiv.org|Nov 19, 2006

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文为一个泊松过程在变化时间服从相型分布（phase-type distribution）的贝叶斯最优快速检测问题，提出了最优检测规则，该规则推广了以往假设变化时间服从指数先验分布的研究。通过将后验概率过程建模为 n+1 维的连续时间半马尔可夫过程，作者证明了最优停止时间是该过程首次击中一个具有非空内部的凸集的时间，并提出了一个数值算法，可实现任意精度的 ε-最优策略。

ABSTRACT

We consider a change detection problem in which the arrival rate of a Poisson process changes suddenly at some unknown and unobservable disorder time. It is assumed that the prior distribution of the disorder time is known. The objective is to detect the disorder time with an online detection rule (a stopping time) in a way that balances the frequency of false alarm and detection delay. So far in the study of this problem, the prior distribution of the disorder time is taken to be exponential distribution for analytical tractability. Here, we will take the prior distribution to be a phase-type distribution, which is the distribution of the absorption time of a continuous time Markov chain with a finite state space. We find an optimal stopping rule for this general case and give a numerical algorithm that calculates the parameters of $\eps$-optimal strategies for any $\eps>0$. We illustrate our findings on two examples.

研究动机与目标

• 将经典的泊松紊乱问题从指数先验假设推广至更一般的情形，以突破以往因解析可处理性而主导文献的限制。
• 将紊乱时间建模为相型分布，以提供更大的灵活性，并能以任意精度逼近任意正分布。
• 证明存在一种最优停止规则，可最小化结合误报频率与检测延迟的贝叶斯风险。
• 开发一种数值算法，用于计算可保证收敛至最优贝叶斯风险的 ε-最优检测策略。
• 通过埃尔朗（Erlang）与超几何（hypergeometric）相型先验分布的实例，验证所提方法的有效性。

提出的方法

• 将变化检测问题转化为一个 (n+1) 维后验概率过程 Π̲t = [Π₁t, ..., Πₙt, Πt] 的最优停止问题，其中 Πit 表示隐马尔可夫链处于状态 i 的后验概率。
• 证明最优停止时间是后验概率过程 Π̲t 首次击中一个在单纯形中具有非空内部的闭凸集 Γ 的时间。
• 通过迭代应用一个积分算子，构造出一组函数序列，以一致逼近最小贝叶斯风险。
• 在辅助概率测度下重新表述问题，以避免继续区域无界的问题，从而实现数值计算。
• 实现一种数值算法，用于计算表征 ε-最优停止时间的边界曲线，使观测驱动的阈值穿越可实现实时检测。
• 利用后验过程的强马尔可夫性质，对停止时间点的期望成本进行分解，从而验证停止规则的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的泊松紊乱问题能否被推广至超越指数先验假设的范围，以允许更现实且灵活的紊乱时间先验分布？
• RQ2 在推广后的问题中，最优停止规则是否仍可由后验概率空间中某个凸集的击中时间表征？
• RQ3 能否通过迭代构造的函数序列一致逼近最小贝叶斯风险？该逼近的收敛速度如何？
• RQ4 对于相型先验分布，ε-最优检测策略如何实现数值计算？实现特定精度所需的计算资源为何？
• RQ5 相较于指数先验，采用相型先验（如埃尔朗或超指数分布）在最小化贝叶斯风险方面能带来多大性能提升？

主要发现

• 对于相型变化时间分布的泊松紊乱问题，最优停止时间是后验概率过程首次击中一个具有非空内部的闭凸集 Γ 的时间。
• 通过迭代应用积分算子生成的函数序列，可将最小贝叶斯风险一致逼近至任意 ε > 0 的精度。
• 存在 ε-最优停止规则，可通过计算后验概率空间中边界曲线的数值算法实现。
• 该算法支持实时检测：观察者仅需监测后验过程，并在过程穿越计算出的边界时触发报警。
• 对于具有两个瞬态状态的埃尔朗与超几何相型分布，数值结果表明贝叶斯风险显著低于指数先验情形。
• 证明表明值函数满足动态规划原理，且在后验过程动态下，最优策略具有时间一致性。