[论文解读] Quillen Theorems Bn for homotopy pullbacks of (infinity, k)-categories

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过纤维化（fibrillations）——源自霍普金斯与雷茨的锐映射（sharp maps）的纤维化结构——将奎伦定理 B 推广至 $(\infty,k)$-范畴中的同伦下三角形。研究证明，在性质 $B_n$ 条件下，$n$-箭头下三角形范畴 $f\mathbf{X} \downarrow_n g\mathbf{Y}$ 是同伦下三角形，通过瑞迪（Reedy）与雷茨（Rezk）模型结构，将结果推广至相对范畴与 $k$-相对范畴。

ABSTRACT

We extend the Quillen Theorem Bn for homotopy fibers of Dwyer, et al. to similar results for homotopy pullbacks and note that these results imply similar results for zigzags in the categories of relative categories and k-relative categories, not only with respect to their Reedy structures but also their Rezk structure, which turns them into models for the theories of (infinity, 1)- and (infinity, k)-categories, respectively.

研究动机与目标

• 将奎伦定理 B 推广至 $(\infty,k)$-范畴中的同伦下三角形。
• 证明当 $f$ 满足性质 $B_n$ 时，$n$-箭头下三角形范畴 $f\mathbf{X} \downarrow_n g\mathbf{Y}$ 可模型化同伦下三角形。
• 通过瑞迪与雷茨模型结构，将上述结果推广至相对范畴与 $k$-相对范畴。
• 证明严格 $3$-箭头演算蕴含性质 $C_3$，为高阶奎伦定理提供充分条件。
• 构建一个使用纤维化——霍普金斯锐映射的纤维化类比——的框架，以证明同伦下三角形的刻画。

提出的方法

• 利用纤维化，即霍普金斯与雷茨锐映射的重新诠释，其行为类似于右拟正则模型范畴中的纤维化。
• 应用纤维化提升引理（引理 9.4），将纤维化性质通过 $w_*$ 与积构造等函子转移。
• 使用 $k$-单纯化神经函子 $\mathrm{s}^k\mathrm{N}$，将 $k$-相对范畴与 $k$-单纯化空间联系起来。
• 应用奎伦纤维化引理（引理 9.7），从余范畴构造纤维化，尤其在 $\widehat{\mathbf{Cat}}$ 中。
• 在 $\mathrm{s}^k\widehat{\mathbf{Cat}}$ 与 $\mathbf{Rel}^k\mathbf{Cat}$ 上使用雷茨结构，以模型化 $(\infty,1)$-与 $(\infty,k)$-范畴。
• 应用全局等价引理（引理 5.13），通过同伦等价如 $w_*$ 转移同伦下三角形性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 zigzag $f: \mathbf{X} \to \mathbf{Z} \leftarrow \mathbf{Y}: g$，在何种条件下 $n$-箭头下三角形范畴 $f\mathbf{X} \downarrow_n g\mathbf{Y}$ 是同伦下三角形？
• RQ2 如何将奎伦定理 $B_n$ 从单个函子推广至 $(\infty,k)$-范畴中 zigzag 的同伦下三角形？
• RQ3 源自锐映射的纤维化在相对范畴与 $k$-相对范畴中对同伦下三角形的刻画起何种作用？
• RQ4 严格 $3$-箭头演算能否作为性质 $C_3$ 的充分条件，从而支持高阶奎伦定理？
• RQ5 在相对范畴与 $k$-相对范畴上，瑞迪与雷茨模型结构在何种方式下支持相同的同伦下三角形刻画？

主要发现

• 若 $f$ 满足性质 $B_n$，则 $n$-箭头下三角形范畴 $f\mathbf{X} \downarrow_n g\mathbf{Y}$ 是同伦下三角形，其到实际同伦下三角形的单射是弱等价，当且仅当下三角形是同伦不变时。
• 对于 $k$-相对范畴（$k > 1$），在 $B_n$ 或 $C_n$ 条件下，相同结果成立，且在瑞迪与雷茨模型结构中均有效。
• 当 $f$ 具有性质 $B_n$ 时，映射 $\pi: f\mathbf{X} \downarrow_n \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}$ 是纤维化，且该结构可通过 $w_*$ 与积函子提升。
• $k$-单纯化神经函子 $\mathrm{s}^k\mathrm{N}$ 保持纤维化结构，从而可将结果从 $\mathrm{s}^k\widehat{\mathbf{Cat}}$ 转移到 $\mathbf{Rel}^k\mathbf{Cat}$。
• 严格 $3$-箭头演算蕴含性质 $C_3$，为 $B_3$ 类型定理的应用提供具体充分条件。
• $\mathbf{RelCat}$ 到 $\mathrm{s}^k\widehat{\mathbf{Cat}}$ 的 $w_*$ 函子是同伦等价，结合全局等价引理，可在范畴间转移同伦下三角形结果。