[论文解读] Quiver algebras and their representations for arbitrary quivers

Wei Li|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

该论文将此前仅针对toric Calabi-Yau三fold所定义的quiver Yangian推广至任意带势能的quiver，通过偏序集（posets）而非三维晶体构造其表示。该工作将字符计算扩展至包含精化BPS指数（动机DT不变量），并证明其在4D $\mathcal{N}=2$理论的BPS quiver与纽结-quiver对应关系中的一致性，同时通过与$\mathfrak{g}$-扩展$\mathcal{W}_{1+\infty}$代数的universal enveloping代数的同构，建立了与仿射Yangian of $\mathfrak{gl}_{m|n}$及$D(2,1|\alpha)$之间的联系。

ABSTRACT

The quiver Yangians were originally defined for the quiver and superpotential from string theory on general toric Calabi-Yau threefolds, and serve as BPS algebras of these systems. Their characters reproduce the unrefined BPS indices, which correspond to classical Donaldson-Thomas (DT) invariants. We generalize this construction in two directions. First, we show that this definition extends to arbitrary quivers with potentials. Second, we explain how to define the characters to incorporate the refined BPS indices, which correspond to motivic DT invariants. We focus on two main classes of quivers: the BPS quivers of 4D $N=2$ theories and the quivers from the knot-quiver correspondence. The entire construction allows for straightforward generalizations to trigonometric, elliptic, and generalized cohomologies.

研究动机与目标

• 将quiver Yangian的定义从toric Calabi-Yau三fold的quiver推广至任意带势能的quiver。
• 为任意quiver构造quiver Yangian的表示，以偏序集表示替代原始的三维晶体结构。
• 将quiver Yangian的字符计算推广，以包含对应于动机Donaldson-Thomas不变量的精化BPS指数。
• 证明quiver Yangian的精化真空字符与4D $\mathcal{N}=2$理论BPS quiver及纽结-quiver系统的已知结果一致。
• 通过精化字符结构，建立特定李超代数的仿射Yangian与$\mathfrak{g}$-扩展$\mathcal{W}_{1+\infty}$代数的universal enveloping代数之间的联系。

提出的方法

• 基于quiver及其势能导出的偏序集表示，通过归纳构造方法构建quiver Yangian。
• 代数的二次部分直接由quiver结构与势能定义，关系由其在偏序集表示上的作用决定。
• 偏序集表示由quiver的路径代数所定义的偏序集构造，作为代数作用的态空间。
• 首先构造类真空表示，再以该真空表示为基构建非真空表示。
• 通过枚举偏序集中的态计算字符，未精化的字符与经典DT不变量一致，精化的字符与动机DT不变量一致。
• 精化字符通过波函数中平方根的符号选择的一致性定义，确保代数一致性与互反性。

实验结果

研究问题

• RQ1 quiver Yangian能否在任意带势能的quiver上一致定义，而不仅限于toric Calabi-Yau三fold的quiver？
• RQ2 当缺乏三维晶体结构时，如何为任意quiver构造quiver Yangian的表示？
• RQ3 quiver Yangian的字符能否被精化以重现动机Donaldson-Thomas不变量？该精化如何实现？
• RQ4 对于4D $\mathcal{N}=2$理论的BPS quiver，quiver Yangian的精化真空字符是否与其它方法得到的结果一致？
• RQ5 是否存在一个普遍的代数结构——特别是$\mathcal{W}_{1+\infty}$代数——作为某些李超代数的精化quiver Yangian的根基？

主要发现

• quiver Yangian的构造被推广至任意带势能的quiver，代数的二次部分明确依赖于quiver与势能。
• quiver Yangian的表示通过quiver导出的偏序集构造，替代了原始toric CY 3情形中使用的三维晶体结构。
• 通过枚举偏序集中的态计算的未精化字符，重现了经典Donaldson-Thomas不变量。
• 精化字符通过波函数中平方根的符号选择的一致性定义，使得动机DT不变量得以恢复。
• 对于4D $\mathcal{N}=2$理论的BPS quiver，精化真空字符与采用相同子环作用时的已知结果一致，且在Kronecker与McKay quiver等例子中保持一致。
• 精化真空字符揭示：$\mathfrak{g}$的仿射Yangian（$\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_{m|n}$或$D(2,1|\alpha)$）同构于$\mathfrak{g}$-扩展$\mathcal{W}_{1+\infty}$代数的universal enveloping代数，从而为BPS划分函数的plethystic指数形式提供了$\mathcal{W}$-代数解释。