[论文解读] Quiver Hall-Littlewood functions and Kostka-Shoji polynomials

Daniel L. Orr, Mark Shimozono|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文引入了quiver Hall-Littlewood函数和quiver Kostka-Shoji多项式，作为对quiver表示中经典对称函数理论的推广。通过在对称函数的张量积上定义作用于quiver的电流，作者将这些多项式构作成Schur基展开的系数，表明它们作为Lusztig的卷积图上向量丛的等变欧拉示性数中的分次重数而出现，其非负性通过高阶上同调消失的猜想得以支持。

ABSTRACT

For any triple $(i,a,μ)$ consisting of a vertex $i$ in a quiver $Q$, a positive integer $a$, and a dominant $GL_a$-weight $μ$, we define a quiver current $H^{(i,a)}_μ$ acting on the tensor power $Λ^Q$ of symmetric functions over the vertices of $Q$. These provide a quiver generalization of parabolic Garsia-Jing creation operators in the theory of Hall-Littlewood symmetric functions. For a triple $(\mathbf{i},\mathbf{a},μ(\bullet))$ of sequences of such data, we define the quiver Hall-Littlewood function $H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{μ(\bullet)}$ as the result of acting on $1\inΛ^Q$ by the corresponding sequence of quiver currents. The quiver Kostka-Shoji polynomials are the expansion coefficients of $H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{μ(\bullet)}$ in the tensor Schur basis. These polynomials include the Kostka-Foulkes polynomials and parabolic Kostka polynomials (Jordan quiver) and the Kostka-Shoji polynomials (cyclic quiver) as special cases. We show that the quiver Kostka-Shoji polynomials are graded multiplicities in the equivariant Euler characteristic of a vector bundle on Lusztig's convolution diagram determined by the sequences $\mathbf{i},\mathbf{a}$. For certain compositions of currents we conjecture higher cohomology vanishing of the associated vector bundle on Lusztig's convolution diagram. For quivers with no branching we propose an explicit positive formula for the quiver Kostka-Shoji polynomials in terms of catabolizable multitableaux. We also relate our constructions to $K$-theoretic Hall algebras, by realizing the quiver Kostka-Shoji polynomials as natural structure constants and showing that the quiver currents provide a symmetric function lifting of the corresponding shuffle product. In the case of a cyclic quiver, we explain how the quiver currents arise in Saito's vertex representation of the quantum toroidal algebra of type $\mathfrak{sl}_r$.

研究动机与目标

• 将抛物型Garsia-Jing创造算子推广至quiver表示，使用quiver电流。
• 将quiver Hall-Littlewood函数定义为作用于真空态的这些电流的复合。
• 将这些函数在张量Schur基中的展开系数识别为quiver Kostka-Shoji多项式。
• 将这些多项式解释为Lusztig卷积图上向量丛的等变欧拉示性数中的分次重数。
• 为无分支quiver提出这些多项式的正组合公式，以可消去的多重表表示。

提出的方法

• 在 $ \Lambda^Q $ 上定义quiver电流 $ H^{(i,a)}_{\nu} $，即在quiver顶点上取值的对称函数张量积，参数为顶点 $ i $、整数 $ a $ 和 $ GL_a $-权 $ \nu $ 的极大权。
• 将quiver Hall-Littlewood函数 $ H^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{\mu(\bullet)} $ 构造为作用于真空 $ 1 \in \Lambda^Q $ 的此类电流的复合。
• 将这些函数在张量Schur基 $ s_{\lambda^{\bullet}} $ 中展开，其系数为 $ \mathcal{K}^{\mathbf{i},\mathbf{a}}_{\lambda^{\bullet},\mu(\bullet)}(t_{Q_1}) $，称为quiver Kostka-Shoji多项式。
• 将这些多项式实现为与 $ \mathbf{i}, \mathbf{a} $ 相关的Lusztig卷积图上的向量丛的等变欧拉示性数中的分次重数，其权数据为 $ \mu(\bullet) $。
• 猜想与该向量丛相关的高阶上同调消失，从而暗示多项式的非负性。
• 为无分支quiver（即无向环或路径）提出使用可消去的多重表的正公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将抛物型Garsia-Jing创造算子推广至quiver表示？
• RQ2 quiver Kostka-Shoji多项式的几何与表示论解释是什么？
• RQ3 能否为无分支quiver给出quiver Kostka-Shoji多项式的正组合公式？
• RQ4 这些多项式与K-理论Hall代数及shuffle积有何关系？
• RQ5 在量子球面代数的背景下，quiver电流如何出现？

主要发现

• quiver Kostka-Shoji多项式被识别为quiver Hall-Littlewood函数在张量Schur基中展开的系数，其系数在箭头变量 $ t_{Q_1} $ 中为整数。
• 这些多项式推广了经典的Kostka-Foulkes多项式和抛物型Kostka多项式，并将循环quiver的Kostka-Shoji多项式作为特例包含在内。
• 对于单环quiver，当 $ \mu(\bullet) $ 由单行权构成时，多项式恢复为经典的Kostka-Foulkes多项式。
• quiver Kostka-Shoji多项式被证明是Lusztig卷积图上向量丛的等变欧拉示性数中的分次重数。
• 猜想与该向量丛相关的高阶上同调消失，这将意味着多项式的非负性。
• 对于无分支quiver，提出使用可消去的多重表的正公式，推广了S.与W.对单环情况的猜想。