[论文解读] Quiver varieties and a non-commutative P^2

Vladimir Baranovsky, Victor Ginzburg+1 more|ArXiv.org|Mar 12, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 12

一句话总结

本文通过广义预投影代数和 quiver 变体，利用有限子群 $\Gamma \subset SL_2(\mathbb{C})$ 与群代数中心中的元素 $\tau$，构建了一个非交换射影平面 $\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}$。通过 coherent 丛的单子描述，建立了该非交换 $\mathbb{P}^2$ 上的无挠层模空间与 Nakajima 的 quiver 变体之间的同构，从而证明了 Crawley-Boevey 与 Holland 猜想的推广版本。

ABSTRACT

To any finite group G in SL_2(C), and each `t' in the center of the group algebra of G, we associate a category, Coh_t. It is defined as a suitable quotient of the category of graded modules over (a graded version of) the deformed preprojective algebra introduced by Crawley-Boevey and Holland. The category Coh_t should be thought of as the category of coherent sheaves on a `noncommutative projective 2-space', equipped with a framing at the line at infinity. Our first result establishes an isomorphism between the moduli space of torsion free objects of Coh_t and the Nakajima quiver variety arising from G via the McKay correspodence. We apply the above isomorphism to deduce generalized Crawley-Boevey & Holland conjecture, saying that the moduli space of `rank 1' projective modules over the deformed preprojective algebra is isomorphic to a particular quiver variety. This reduces, for G=1, to the recently obtained parametrisation of the isomorphism classes of right ideals in the first Weyl algebra, A_1, by points of the Calogero-Moser space, due to Cannings-Holland and Berest-Wilson. Our approach is algebraic and is based on a monadic description of torsion free sheaves on the noncommutative projective 2-space. It is totally different from the one used by Berest-Wilson, involving $τ$-functions.

研究动机与目标

• 通过 quiver 变体和广义预投影代数定义 $\mathbb{P}^2$ 的非交换类比。
• 建立该非交换 $\mathbb{P}^2$ 上 coherent 丛与分次模的商范畴之间的范畴等价。
• 通过 McKay 对应，证明 $\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}$ 上无挠层的模空间与 Nakajima 的 quiver 变体同构。
• 通过 coherent 丛的单子方法，推广 Crawley-Boevey 与 Holland 关于广义预投影代数上秩一投影模的模空间的猜想。

提出的方法

• 使用分次模的商范畴 $\mathop{\mathrm{qgr}}(A)$，通过强正则分次代数 $A$ 定义非交换 $\mathbb{P}^2$ 上的 coherent 丛。
• 将代数 $A$ 构造为与 $\Gamma$ 和 $\tau$ 相关的广义预投影代数的分次版本，确保其具有有限整体维数和 Gorenstein 性质。
• 应用 $\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}$ 上无挠丛的单子描述，将其与 quiver 的表示联系起来。
• 利用 McKay 对应，将 $\Gamma$ 的表示理论与 quiver 变体的几何联系起来。
• 利用 $\chi$-条件以及权格上 Cartan 算子 $C$ 的性质，对极小权和特殊顶点进行分类。
• 依赖于分解 ${{\sf{\hat{P}}}} = {\mathsf{P}} \oplus \mathbb{Z} \cdot \omega_v$ 和投影 $\mathtt{pr}$，将满足 ${{\hat{\theta}}^\vee}(\omega) = 1$ 的权的分类约化为有限型根系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 quiver 数据和广义预投影代数代数地定义非交换 $\mathbb{P}^2$？
• RQ2 该非交换 $\mathbb{P}^2$ 上无挠层的模空间与 Nakajima 的 quiver 变体之间存在何种关系？
• RQ3 能否通过 coherent 丛的单子方法证明广义的 Crawley-Boevey 与 Holland 猜想？
• RQ4 在扩展 Dynkin 图中，极小权与特殊顶点如何与一维 $\Gamma$-模的分类相关联？
• RQ5 投影 $\mathtt{pr}: \widehat{P} \to \mathsf{P}$ 在将权的分类约化为有限型根系的过程中起什么作用？

主要发现

• 模空间 $\mathrm{M}^\mathrm{tf}(\mathcal{C}\!oh(\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}, \mathbb{P}^1))$ 与通过 McKay 对应关联的 Nakajima quiver 变体同构。
• 范畴 $\mathcal{C}\!oh(\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}, \mathbb{P}^1)$ 被定义为广义预投影代数上分次模的商，从而为 $\mathbb{P}^2$ 上的非交换 coherent 丛提供了类比。
• 通过无挠丛的单子描述建立了同构，避免了先前工作中使用的 $\tau$-函数方法。
• 广义的 Crawley-Boevey 与 Holland 猜想已得证：广义预投影代数上秩一投影模的模空间同构于特定的 quiver 变体。
• 当 $\Gamma = \{1\}$ 时，该结果恢复了 Calogero-Moser 空间上的点对第一 Weyl 代数 $\mathsf{A}_1$ 的右理想等价类的参数化。
• 满足 ${{\hat{\theta}}^\vee}(\omega) = 1$ 的权 $\omega \in \widehat{P}$ 的分类约化为唯一分解 $\omega = \omega_i + C(\omega^{\prime\prime})$，其中 $i$ 为特殊顶点或 $v$，且 $\omega^{\prime\prime} \in \mathsf{P}$。