[论文解读] Quiver varieties and Beilinson-Drinfeld Grassmannians of type A

Ivan Mirković, Maxim Vybornov|ArXiv.org|Dec 26, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 33

一句话总结

本文通过贝利松-德林费尔德格拉斯曼ian中的幂零轨道横截切片，构造了类型A的中岛quiver变体，实现了quiver变体的几何紧化，并将仿射格拉斯曼ian分解为quiver变体的不相交并集。关键贡献在于，从仿射格拉斯曼ian几何自然导出了一类不同于斯洛多夫斯基的新型横截切片，从而通过施瓦兹-卷积格拉斯曼ian的上同调同构，实现了skew与对称$(GL(m),GL(n))$对偶性的几何实现。

ABSTRACT

We construct Nakajima's quiver varieties of type A in terms of conjugacy classes of matrices and (non-Slodowy's) transverse slices naturally arising from affine Grassmannians. In full generality quiver varieties are embedded into Beilinson-Drinfeld Grassmannians of type A. Our construction provides a compactification of Nakajima's quiver varieties and a decomposition of an affine Grassmannian into a disjoint union of quiver varieties. As an application we provide a geometric version of skew and symmetric $(GL(m), GL(n))$ duality.

研究动机与目标

• 通过矩阵的共轭类和来自仿射格拉斯曼ian的横截切片构造中岛的类型A quiver变体。
• 将quiver变体嵌入到类型A的贝利松-德林费尔德格拉斯曼ian中，实现其几何紧化。
• 建立仿射格拉斯曼ian到quiver变体的不相交并集分解。
• 通过上同调与不可约分量的同构，实现skew与对称$(GL(m),GL(n))$对偶性的几何实现。
• 引入一类新的幂零轨道横截切片，不同于斯洛多夫斯基的切片，其自然来源于仿射格拉斯曼ian结构。

提出的方法

• 从整数$v=(v_1,\dots,v_{n-1})$，$d=(d_1,\dots,d_{n-1})$和中心元素$c=(c_1,\dots,c_{n-1})$的quiver数据构造quiver变体${\mathfrak{M}}(v,d)$和${\mathfrak{M}}_0(v,d)$。
• 利用$\mathfrak{sl}(2)$-三元组$\{x,h,y\}$的作用，定义$\mathfrak{gl}(N,\mathbb{C})$中幂零轨道$\mathcal{O}_\lambda$的新横截切片$T_\lambda$，要求$h$的特征值非正，且$y$作用尽可能正则。
• 建立代数同构$\phi$，$\widetilde{\phi}$，$\psi$，$\widetilde{\psi}$，使一个交换图将quiver变体、横截切片与卷积格拉斯曼ian联系起来。
• 使用$GL(m)$的仿射格拉斯曼ian$\mathcal{G}$及其解析$\pi: \widetilde{\mathcal{G}} \to \mathcal{G}$，其中$L^{<0}G$与$L^{\geq 0}G$为环群的子群。
• 利用几何萨塔克对应，将$\pi^{-1}(L_\lambda)$的不可约分量与表示理论中的权空间相等同。
• 通过$\pi^{-1}(L_\lambda)$的上同调与quiver变体不可约分量之间的同构，建立对偶性的几何实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过共轭类与来自仿射格拉斯曼ian的横截切片构造中岛的类型A quiver变体？
• RQ2 新横截切片$T_\lambda$的性质是什么？它与斯洛多夫斯基切片有何不同？
• RQ3 能否通过此构造将$GL(m)$的仿射格拉斯曼ian分解为quiver变体的不相交并集？
• RQ4 此构造如何实现skew$(GL(m),GL(n))$对偶性的几何版本？
• RQ5 能否通过上同调与不可约分量的同构，建立$\mathfrak{gl}(m)$与$\mathfrak{gl}(n)$之间的几何对称对偶性？

主要发现

• 本文构造了$\mathfrak{gl}(N,\mathbb{C})$中幂零轨道$\mathcal{O}_\lambda$的新横截切片$T_\lambda$，定义为$x + C$，其中$C$是$[\mathfrak{gl}(N),x]$的补空间，且$h$作用的特征值非正，这与斯洛多夫斯基切片不同，后者要求$y$在$C$上平凡作用。
• 存在代数同构$\phi$，$\widetilde{\phi}$，$\psi$，$\widetilde{\psi}$，构成一个交换图，将quiver变体与仿射格拉斯曼ian中横截切片和轨道的交集相等同。
• $GL(m)$的仿射格拉斯曼ian$\mathcal{G}$可分解为quiver变体$\mathfrak{M}_0(v,d)$的不相交并集，每个分量对应一对分拆$\lambda$，$\mu$。
• 该构造通过同构$\operatorname{Hom}_{GL(m)}(\wedge^{a_1}V \otimes \cdots \otimes \wedge^{a_n}V, V_\lambda)$与$\pi^{-1}(L_\lambda)$的上同调（同构于$\mathcal{H}(\mathfrak{L}(v,d))$）实现了skew$(GL(m),GL(n))$对偶性的几何实现。
• 通过$\pi^{-1}(L_\lambda)$与斯帕尔滕斯坦纤维的不可约分量之间的同构，建立了几何对称对偶性，其同构关系为$\operatorname{Hom}_{\mathfrak{gl}(n)}(\wedge^{c_1}W \otimes \cdots \otimes \wedge^{c_m}W, W_{\check{\lambda}})$与$\operatorname{Hom}_{\mathfrak{gl}(m)}(\operatorname{Sym}^{c_1}V \otimes \cdots \otimes \operatorname{Sym}^{c_m}V, V_\lambda)$。
• 同构$\phi$通过显式公式给出，尤其在$c=0$时更为具体，使该构造比以往基于存在性论证的方法更具构造性。