[论文解读] Quiver varieties and finite dimensional representations of quantum affine algebras

Hiraku Nakajima|ArXiv.org|Dec 20, 1999

Algebraic structures and combinatorial models被引用 7

一句话总结

本文通过奎弗簇（quiver varieties）建立了量子仿射代数有限维表示的几何实现，构建了不可约表示与这些簇的交线上同调群之间的对应关系。关键结果是利用比亚林尼克-比鲁分解（Bialynicki-Birula decomposition）和奎弗簇的等变上同调，将表示的特征公式表达出来，从而在表示理论与代数几何之间建立了深刻联系。

ABSTRACT

We study finite dimensional representations of the quantum affine algebra, using geometry of quiver varieties introduced by the author. As an application, we obtain character formulas expressed in terms of intersection cohomologies of quiver varieties.

研究动机与目标

• 通过奎弗簇为量子仿射代数的有限维表示提供几何构造。
• 建立不可约表示与奎弗簇的交线上同调群之间的对应关系。
• 利用等变上同调和比亚林尼克-比鲁分解等几何不变量，推导这些表示的特征公式。
• 通过奎弗构造，统一量子仿射代数的表示理论与代数几何时的关系。
• 通过奎弗表示模空间，将早期关于仿射李代数的结果推广到量子情形。

提出的方法

• 将奎弗簇用作具有固定维向量的奎弗表示的模空间。
• 应用交线上同调理论研究这些奎弗簇的上同调性质。
• 利用比亚林尼克-比鲁分解分析奎弗簇在C*-作用下的等变上同调。
• 通过C*-作用的不动点构造表示空间的典范基。
• 依赖几何Satake对应与中岛（Nakajima）奎弗簇理论，将几何与表示理论联系起来。
• 利用等变上同调上的卷积代数结构，实现量子仿射代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何实现量子仿射代数有限维表示的几何实现？
• RQ2 不可约表示与奎弗簇的交线上同调群之间的确切关系是什么？
• RQ3 这些表示的特征公式能否用奎弗簇的几何不变量表达？
• RQ4 奎弗簇上的C*作用如何影响表示空间的结构？
• RQ5 等变上同调上的卷积代数在实现量子仿射代数中起什么作用？

主要发现

• 量子仿射代数的有限维表示被实现为带有C*作用的奎弗簇的同调群。
• C*作用的零维不动点集的不可约分支对应于表示空间的典范基。
• 不可约表示的特征公式以奎弗簇的交线上同调群的Poincaré多项式的生成函数形式表达。
• 表示空间的维数等于奎弗簇的交线上同调的欧拉示性数。
• 量子仿射代数在上同调上的作用通过奎弗簇等变上同调上的卷积算子实现。
• 该构造为特征的Kostant分拆函数公式提供了基于奎弗几何的几何证明。