[论文解读] Quiver varieties and Hilbert schemes

Alexander Kuznetsov|ArXiv.org|Nov 8, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 15

一句话总结

本文证明了两个几何对象——$̲\Gamma$-等变的 $̲\mathbb{C}^2$ 上的 Hilbert 样条与 $̲\mathbb{C}^2/\Gamma$ 的最小解析解消上的 Hilbert 样条——通过 McKay 对应关系，与仿射 Dynkin 图对应的 quiver 变量同构。同构关系依赖于参数 $̲\zeta_{\mathbb{R}}$ 所在的区域：当 $̲\mathbf{C}_+$ 时，对应 $̲\Gamma$-等变 Hilbert 样条；当 $̲\mathbf{C}_-(n)$ 时，对应解析解上的 Hilbert 样条。这导致微分同胚，并导出一种新的组合恒等式：在总大小为 $n$ 的 $d$ 个 Young 图集合与均匀着色的 Young 图之间建立联系。该结果通过 Crawley-Boevey 的 quiver 变量模空间解释及 torus 固定点分析得出。

ABSTRACT

In this note we give an explicit geometric description of some of the Nakajima's quiver varieties. More precisely, we show that the $Γ$-equivariant Hilbert scheme $X^{Γ[n]}$ and the Hilbert scheme $X_Γ^{[n]}$ (where $X=\C^2$, $Γ\subset SL(\C^2)$ is a finite subgroup, and $X_Γ$ is a minimal resolution of $X/Γ$) are quiver varieties for the affine Dynkin graph, corresponding to $Γ$ via the McKay correspondence, the same dimension vectors, but different parameters $ζ$ (for earlier results in this direction see [4, 12, 13]). In particular, it follows that the varieties $X^{Γ[n]}$ and $X_Γ^{[n]}$ are diffeomorphic. Computing their cohomology (in the case $Γ=\Z/d\Z$) via the fixed points of $(\C^* imes\C^*)$-action we deduce the following combinatorial identity: the number $UCY(n,d)$ of uniformly coloured in d colours Young diagrams consisting of nd boxes coincides with the number $CY(n,d)$ of collections of d Young diagrams with the total number of boxes equal to n.

研究动机与目标

• 建立 quiver 变量与两类 Hilbert 样条之间的几何同构关系：$̲X^{\Gamma[n]}$ 与 $̲X_{\Gamma}^{[n]}$。
• 证明这些同构关系依赖于参数 $̲\zeta_{\mathbb{R}}$ 位于 $̲\mathbb{R}^d$ 的不同区域。
• 证明 $̲\Gamma$-等变 Hilbert 样条 $̲X^{\Gamma[n]}$ 与解析解上的 Hilbert 样条 $̲X_{\Gamma}^{[n]}$ 通过其 quiver 变量结构实现微分同胚。
• 通过 torus 固定点的上同调分析，推导出均匀着色的 Young 图与总大小为 $n$ 的 $d$ 个 Young 圖集合之间的新组合恒等式。

提出的方法

• 利用 Crawley-Boevey 对 quiver 变量作为双 quiver 表示模空间的解释。
• 应用 McKay 对应关系，将有限子群 $̲\Gamma \subset SL(\mathbb{C}^2)$ 与仿射 Dynkin 图联系起来。
• 分析 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$ 在 Hilbert 样条上的作用，通过 Young 圖对固定点进行分类。
• 将 $̲X^{\Gamma[n]}$ 上的固定点识别为均匀着色的 Young 圖（每条对角线颜色的方块数相等）。
• 将 $̲X_{\Gamma}^{[n]}$ 上的固定点识别为总大小为 $n$ 个方块的 $d$ 个 Young 圖的有序集合。
• 通过固定点计数计算上同调维数，并通过等式推导出组合恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于特定参数选择，quiver 变量是否与 $̲\mathbb{C}^2$ 上的 $̲\Gamma$-等变 Hilbert 样条同构？
• RQ2 在不同的参数区域下，能否将最小解析解上的 Hilbert 样条 $̲X_{\Gamma}$ 实现为 quiver 变量？
• RQ3 在 $̲X^{\Gamma[n]}$ 上的 $̲\Gamma$-不变固定点数量是否等于总大小为 $n$ 的 $d$ 个 Young 圖的 $d$-元组数量？
• RQ4 是否存在一个组合恒等式，将按对角线颜色均匀着色的 Young 圖与总大小为 $n$ 的 $d$ 个 Young 圖集合联系起来？
• RQ5 能否通过 $̲\Gamma$-等变设定下的 $̲\Gamma$-固定点，将 Calogero-Moser 空间与 quiver 变量联系起来？

主要发现

• 当 $̲\zeta_{\mathbb{R}} \in \mathbf{C}_+$ 时，quiver 变量 $̲\mathfrak{M}_{(0,\zeta_{\mathbb{R}})}(n\mathbf{v}^0, \mathbf{w}^0)$ 与 $̲\Gamma$-等变 Hilbert 样条 $̲X^{\Gamma[n]}$ 同构。
• 当 $̲\zeta_{\mathbb{R}} \in \mathbf{C}_-(n)$ 时，同一 quiver 变量与解析解上的 Hilbert 样条 $̲X_{\Gamma}^{[n]}$ 同构。
• $̲X^{\Gamma[n]}$ 与 $̲X_{\Gamma}^{[n]}$ 由于共享 quiver 变量结构而实现微分同胚。
• $̲\Gamma$-不变固定点在 $̲X^{\Gamma[n]}$ 上的数量等于每种颜色有 $n$ 个方块的均匀着色 Young 圖数量，记为 $UCY(n,d)$。
• $̲X_{\Gamma}^{[n]}$ 上的固定点数量等于总大小为 $n$ 个方块的 $d$ 个 Young 圖 $d$-元组数量，记为 $CY(n,d)$。
• 对所有 $n,d > 0$，恒等式 $UCY(n,d) = CY(n,d)$ 成立，该结果通过 torus 固定点分析的上同调维数比较证明。