[论文解读] Quotient curves of the Deligne-Lusztig curve of Suzuki type

Massimo Giulietti, Gábor Korchmáros+1 more|ArXiv.org|Jun 28, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 17

一句话总结

本文对 Suzuki 型 Deligne-Lusztig 曲线的商曲线进行了分类，重点研究来自 Suzuki 群 $\sigma z(q)$ 的子群的商曲线。对于驯服商曲线（奇数阶子群），提供了显式的平面方程和亏格公式；对于非驯服商曲线（偶数阶子群），建立了存在性并推导出亏格公式，包括来自同构于 $\mathcal{S}z(\bar{q})$ 的子群的情形。主要贡献在于对有限域上 Suzuki 群作用下商曲线亏格与方程的全面分类。

ABSTRACT

Inspired by a recent paper of Garcia, Stichtenoth and Xing [2000, Compositio Math. 120, 137--170], we investigate the quotient curves of the Deligne-Lusztig curve associated to the Suzuki group.

研究动机与目标

• 对来自 Suzuki 群 $\mathcal{S}z(q)$ 的子群的 Suzuki 型 Deligne-Lusztig 曲线的所有商曲线进行分类。
• 为来自奇数阶子群的驯服商曲线提供显式的平面方程和亏格公式。
• 为来自偶数阶子群的非驯服商曲线建立存在性并推导亏格公式，由于非同构子群数量庞大，完整分类不可行。
• 分析来自阶为 $4r$ 且 $r>1$ 整除 $q\pm 2q_0+1$ 的子群，以及在 $\bar{q}$ 满足特定算术条件时同构于 $\mathcal{S}z(\bar{q})$ 的子群所生成的商曲线。
• 通过系统处理驯服与非驯服情形，扩展先前关于商曲线的研究，包括显式方程与亏格计算。

提出的方法

• 对于驯服商曲线，作者利用 Hurwitz 亏格公式，并通过分析 $\mathcal{S}z(q)$ 中奇数阶子群的群论性质，推导出亏格公式与平面方程。
• 论文通过在 $X$ 和 $Y$ 上定义的单项式与对称函数构造显式平面模型，使用映射 $\psi_r$，其系数涉及 $2^i$ 次幂的和。
• 对于非驯服商曲线，作者将 Hurwitz 亏格公式应用于阶为 $4r$ 和 $\mathcal{S}z(\bar{q})$ 的子群，通过群元素共轭类数据计算分歧除子的次数。
• 作者通过计算群元素的不动点并利用公式 $g_{\mathcal{U}} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{P} (e_P - 1)$（其中 $e_P$ 为分歧指数）推导出亏格公式。
• 通过使用对称函数恒等式与二项式系数展开，推导出显式平面方程，特别是针对形如 $\sum (-1)^{i+j} \frac{(i+j-1)!}{i!j!} X^{ri} Y^j = \text{多项式}$ 的曲线。
• 分析依赖于已知的 DLS 曲线的自同构群 $\mathcal{S}z(q)$ 及其子群结构，包括 Singer 子群与 Frobenius 群正规化子。

实验结果

研究问题

• RQ1 来自 $\mathcal{S}z(q)$ 子群的 Suzuki 型 Deligne-Lusztig 曲线的商曲线可能具有哪些亏格？
• RQ2 是否可以为所有来自奇数阶子群的驯服商曲线推导出显式平面方程？
• RQ3 对于来自偶数阶子群的非驯服商曲线，可以构建哪些亏格公式与几何模型？
• RQ4 当子群同构于 $\mathcal{S}z(\bar{q})$ 且满足 $\bar{q} = 2^{2\bar{s}+1}$，$\bar{s} \mid s$，$2\bar{s}+1 \mid 2s+1$ 时，商曲线的亏格如何变化？
• RQ5 对于阶为 $4r$ 或 $\mathcal{S}z(\bar{q})$ 的子群生成的商曲线，Hurwitz 公式中分歧除子的结构是怎样的？

主要发现

• 对于来自奇数阶子群的驯服商曲线，当 $r \mid q-1$ 时，亏格为 $g = \frac{q-1}{r}q_0$，且该曲线是 $\mathbb{F}_q$ 上具有特定对称方程的非奇异平面曲线，其方程涉及 $X^{2^i}$ 项的和。
• 当 $r \mid q+2q_0+1$ 时，亏格为 $g = \frac{q+2q_0+1}{r}(q_0-1)+1$，且该曲线是 $\mathbb{F}_{q^4}$ 上具有平面方程的非奇异模型，其方程涉及 $Y^{(q+2q_0+1)/r}$ 与 $X^{2^i q_0}(1+X)^{2^i(q_0+1)-q_0}$ 项的和。
• 当 $r \mid q-2q_0+1$ 时，亏格为 $g = \frac{q-2q_0+1}{r}(q_0+1)-1$，且该曲线是 $\mathbb{F}_{q^4}$ 上具有平面方程的非奇异模型，其方程涉及常数 $b = \lambda^{q_0} + \lambda^{q_0-1} + \lambda^{-q_0} + \lambda^{-q_0+1}$ 与 $X^{2^i(2q_0+1)-(q_0+1)}(1+X)^{2^i}$ 项的和。
• 对于阶为 $4r$ 的非驯服商曲线，当 $r \mid q+2q_0+1$ 时，亏格为 $g = \frac{1}{4}\left[\frac{q_0(q-1)-1}{r} - (q_0-1)\right]$；当 $r \mid q-2q_0+1$ 时，$g = \frac{1}{4}\left[\frac{q_0(q-1)+1}{r} - (q_0+1)\right]$。
• 当子群同构于 $\mathcal{S}z(\bar{q})$ 且 $\bar{q} = 2^{2\bar{s}+1}$，$\bar{s} \mid s$，$2\bar{s}+1 \mid 2s+1$ 时，亏格为 $g = \frac{q_0(q-1)-1 + (\bar{q}^2+1)\bar{q}^2(\bar{q}-1) + \Delta}{(\bar{q}^2+1)\bar{q}^2(\bar{q}-1)}$，其中 $\Delta$ 是一个涉及 $\bar{q}$、$q_0$ 与 $\bar{q}_0$ 的复杂表达式。
• 为若干情形提供了显式平面方程，包括当 $r \mid q+2q_0+1$ 时定义为 $1 + \sum_{i=0}^{s-1} X^{2^i(2q_0+1)-(q_0+1)}(1+X)^{2^i} = \sum (-1)^{i+j} \frac{(i+j-1)!}{i!j!} Y^i X^{rj}(X^{q_0}+1)$ 的曲线，其模型对应于情形 (iii) 中的亏格。