[论文解读] Quotients of products of curves, new surfaces with $p_g=0$ and their fundamental groups

Ingrid Bauer, Fabrizio Catanese+2 more|ArXiv.org|Sep 19, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用 22

一句话总结

本文通过有限群作用在两个曲线的乘积上取商，构造了19个新的具有 $p_g = 0$ 的一般型曲面族，提供了其基本群的显式描述，并对奇异 canonical 模型进行了分类。关键贡献在于给出了此类商曲面基本群的结构定理，该定理可区分模空间的连通分支，并产生具有此前未知基本群的新例子，包括非交换群与非可解群。

ABSTRACT

The first main purpose of this paper is to contribute to the existing knowledge about the complex projective surfaces $S$ of general type with $p_g(S) = 0$ and their moduli spaces, constructing 19 new families of such surfaces with hitherto unknown fundamental groups. We also provide a table containing all the known such surfaces with K^2 <=7. Our second main purpose is to describe in greater generality the fundamental groups of smooth projective varieties which occur as the minimal resolutions of the quotient of a product of curves by the action of a finite group. We classify, in the two dimensional case, all the surfaces with q=p_g = 0 obtained as the minimal resolution of such a quotient, having rational double points as singularities. We show that all these surfaces give evidence to the Bloch conjecture.

研究动机与目标

• 构造新的极小一般型曲面，满足 $p_g = 0$ 且 $K^2 \neq 9$，扩展已知的曲面族。
• 对 canonical 模型为奇异的此类曲面进行全面分类，完成先前工作的分类工作。
• 为有限群作用下曲线乘积的商曲面的基本群提供一个结构定理。
• 通过新发现的基本群，识别并区分一般型曲面模空间的连通分支。
• 利用 Kimura 的理论及先前工作结果，验证超过40个 $p_g = q = 0$ 的曲面族的 Bloch 猜想。

提出的方法

• 作者利用有限群 $G$ 在两个光滑曲线的乘积 $C_1 \times C_2$ 上的作用，构造曲面 $X = (C_1 \times C_2)/G$，使其满足 $p_g = 0$。
• 他们建立了一个结构定理，将基本群 $\pi_1(X)$ 的结构与群作用及曲线的基本群联系起来。
• 分类工作依赖于对 canonical 模型奇点的分析，特别是有理双曲点（rational double points）及其解析解。
• 该方法涉及通过伽罗瓦覆盖结构计算基本群，并利用诸如单值性（monodromy）和辫子关系（braid relations）等群论数据。
• 作者使用显式的群表示和同态，将基本群的生成元映射到对称群及其他有限群中的元素。
• 他们应用 Kimura 的动机理论及 Catanese 等人的工作，通过动机与上同调数据验证所构造族的 Bloch 猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 canonical 模型具有有理双曲点时，有限群作用下曲线乘积的商曲面的基本群是什么？
• RQ2 哪些有限群 $G$ 能够产生满足 $p_g = 0$ 且 $K^2 \leq 7$ 的曲面 $X = (C_1 \times C_2)/G$？
• RQ3 如何系统地计算并分类此类商曲面的基本群？
• RQ4 这些构造是否在一般型曲面模空间中产生新的连通分支（$p_g = 0$）？
• RQ5 在这些曲面中，Bloch 猜想对多少个成立？其动机与上同调数据提供了何种证据？

主要发现

• 本文构造了19个新的极小一般型曲面族，满足 $p_g = 0$，$K^2 = 1$ 至 $6$，其基本群为此前未知的类型。
• 曲面 $X = (C_1 \times C_2)/G$ 的基本群通过一个结构定理计算得出，该定理将其与群 $G$ 及覆盖的单值性联系起来。
• 当 $K^2 = 6$ 时，本文给出了两个不同的族：一个的伽罗瓦群为 $PSL(2,7)$，基本群为 $\mathfrak{A}_4 \times \mathbb{Z}_7$；另一个的伽罗瓦群为 $\mathfrak{A}_5$，基本群同构于 $\mathbb{Z}^2 \rtimes_\varphi \mathbb{Z}_{15}$。
• 一个伽罗瓦群为 $\mathfrak{S}_4 \times \mathbb{Z}_2$ 的族，其基本群具有复杂的表示，包含四个生成元及非交换关系。
• 另一个伽罗瓦群为 $D_4 \times \mathbb{Z}_2$ 的族，其基本群的表示包含四个生成元及编码非交换结构的关系。
• 本文通过动机与上同调技术，确认了超过40个 $p_g = q = 0$ 的曲面族满足 Bloch 猜想，包括所有所构造的例子。