[论文解读] Quotients of the Fourier algebra, and representations that are not completely bounded

Yemon Choi, Ebrahim Samei|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2011

Advanced Operator Algebra Research被引用 1

一句话总结

本文证明，对于一大类非阿米安群 $G$，存在在希尔伯特空间上定义的傅里叶代数 $A(G)$ 的有界表示，但这些表示并非完全有界。此外，本文进一步研究了从 $A(G)$ 导出的限制代数 $A_G(E)$，表明当 $G$ 为几乎阿贝尔群时，$A_G(E)$ 完全同构于一个算子代数，当且仅当子集 $E \subset G$ 是有限的。

ABSTRACT

We observe that for a large class of non-amenable groups $G$, one can find bounded representations of $A(G)$ on Hilbert space which are not completely bounded. We also consider restriction algebras obtained from $A(G)$, equipped with the natural operator space structure, and ask whether such algebras can be completely isomorphic to operator algebras; partial results are obtained, using a modified notion of Helson set which takes account of operator space structure. In particular, we show that if $G$ is virtually abelian, then the restriction algebra $A_G(E)$ is completely isomorphic to an operator algebra if and only if $E$ is finite.

研究动机与目标

• 研究非阿米安群上傅里叶代数 $A(G)$ 在希尔伯特空间上的有界表示是否存在但并非完全有界。
• 考察通过将 $A(G)$ 限制到子集 $E \subset G$ 而得到的限制代数 $A_G(E)$ 的算子空间结构。
• 确定在何种条件下，此类限制代数完全同构于算子代数，使用一种针对算子空间理论进行调整的赫尔森集概念。
• 在 $G$ 为几乎阿贝尔群的情况下，建立 $A_G(E)$ 完全同构于算子代数的刻画。

提出的方法

• 分析 $A(G)$ 在希尔伯特空间上的有界表示，重点关注其完全有界性性质。
• 为限制代数 $A_G(E)$ 赋予从 $A(G)$ 继承而来的自然算子空间结构。
• 引入一种改进的赫尔森集概念，以考虑算子空间结构，从而研究完全同构问题。
• 应用算子空间理论与调和分析的技术，刻画 $A_G(E)$ 的结构。
• 利用几乎阿贝尔群的结构，推导出算子代数完全同构性的精确二分性。
• 基于 $E$ 的有限性，建立完全同构的必要且充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些非阿米安群 $G$，存在在希尔伯特空间上定义的 $A(G)$ 的有界表示，但并非完全有界？
• RQ2 在赋予从 $A(G)$ 继承的算子空间结构时，限制代数 $A_G(E)$ 在何种条件下完全同构于算子代数？
• RQ3 算子空间结构如何影响赫尔森集的定义与性质？
• RQ4 当 $G$ 为几乎阿贝尔群时，子集 $E \subset G$ 的有限性与 $A_G(E)$ 完全同构于算子代数之间的确切关系是什么？
• RQ5 改进后的赫尔森集概念是否能够捕捉与完全同构相关的算子空间理论性质？

主要发现

• 对于一大类非阿米安群 $G$，存在在希尔伯特空间上定义的 $A(G)$ 的有界表示，但并非完全有界。
• 限制代数 $A_G(E)$ 从 $A(G)$ 继承了自然的算子空间结构，使其能够通过算子空间技术进行分析。
• 为考虑算子空间结构在完全同构背景下的作用，引入了一种改进的赫尔森集概念。
• 当 $G$ 为几乎阿贝尔群时，$A_G(E)$ 完全同构于算子代数，当且仅当 $E$ 是有限集。
• 在几乎阿贝尔群情况下，$E$ 的有限性是完全同构的必要且充分条件，从而确立了精确的结构二分性。