[论文解读] Quotients of the Multiplihedron as Categorified Associahedra

Stefan Forcey|ArXiv.org|Mar 18, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了一类新的多面体，称为复合单纯形（composihedra），它们是多乘单纯形（multiplihedron）的商空间，作为拓扑幺半群与 $A_{\infty}$ 空间之间 $A_{\infty}$ 映射的几何基础。作者证明这些复合单纯形在组合上不同于单纯形（associahedra），并通过参数 $q \to 0$ 的极限过程，对多乘单纯形的顶点构造进行极限化，给出了其凸包实现，从而确立了其在丰富双范畴与张量双范畴中的伪幺半群结构中的作用。

ABSTRACT

We describe a new sequence of polytopes which characterize A_infinity maps from a topological monoid to an A_infinity space. Therefore each of these polytopes is a quotient of the corresponding multiplihedron. Later term(s) in our sequence of polytopes are demonstrated not to be combinatorially equivalent to the associahedron, as was previously assumed. They are given the new collective name composihedra. We point out how these polytopes are used to parameterize compositions in the formulation of the theories of enriched bicategories and pseudomonoids in a monoidal bicategory. We present a simple algorithm for determining the extremal points in Euclidean space whose convex hull is the nth polytope in the sequence of composihedra, that is, the nth composihedron.

研究动机与目标

• 定义一类新的多面体序列，通过建模幺半群结构之间的 $A_\infty$ 映射来对单纯形进行范畴化。
• 证明这些新多面体（称为复合单纯形）在组合上与单纯形不等价，纠正了拓扑与范畴论文献中长期存在的假设。
• 通过参数 $q \to 0$ 时多乘单纯形顶点构造的极限过程，给出第 $n$ 个复合单纯形 $\mathcal{CK}(n)$ 的凸包实现。
• 建立复合单纯形与丰富双范畴中相干性结构及张量双范畴中伪幺半群之间的联系。

提出的方法

• 复合单纯形被定义为多乘单纯形的商空间，通过将定义域结构压缩为严格结合而得到。
• 提供一种递归构造方法，其中每个 $n$-维复合单纯形 $\mathcal{CK}(n)$ 通过树细化对应的低维单纯形 $\mathcal{K}(t)$ 和复合单纯形 $\mathcal{CK}(r_i)$ 的乘积构建而成。
• 利用参数化顶点映射 $M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_q(t)$ 构造凸包实现，其中 $q \to 0$ 的极限产生复合单纯形的顶点。
• 组合等价性的证明依赖于归纳法，表明凸包的顶点恰好对应于着色二叉树，且每个面均由上层或下层树的细化产生。
• 使用超平面边界来证明凸包有界，且仅有细化后的树位于边界上，从而确认其为顶点。
• 该构造利用了文献 [13] 中已知的多乘单纯形的凸包实现，取 $q \to 0$ 的极限以分离出复合单纯形的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 参数化幺半群结构之间 $A_\infty$ 映射的多面体是否在组合上等价于经典的单纯形？
• RQ2 能否通过多乘单纯形顶点映射的极限过程构造出这些新多面体的凸包实现？
• RQ3 复合单纯形如何自然地出现在丰富双范畴的相干性公理与张量双范畴中伪幺半群的结构中？
• RQ4 复合单纯形的面结构与着色二叉树细化之间的确切关系是什么？
• RQ5 参数 $q$ 在顶点构造中的作用是什么？$q \to 0$ 的极限如何产生复合单纯形？

主要发现

• 第 $n^{\text{th}}$ 个复合单纯形 $\mathcal{CK}(n)$ 是多乘单纯形 $\mathcal{J}(n)$ 的商空间，当定义域幺半群为严格结合时产生。
• 复合单纯形在组合上与单纯形 $\mathcal{K}(n)$ 不同，推翻了文献中长期存在的假设。
• 第 $n^{\text{th}}$ 个复合单纯形 $\mathcal{CK}(n)$ 被实现为点 $M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_0(t)$ 的凸包，其中 $t$ 为具有 $n$ 片叶子的着色二叉树。
• $\mathcal{CK}(n)$ 的顶点恰好是对应于二叉着色树的点 $M^{w_0,\dots,w_{n-1}}_0(t)$。
• 每个 $\mathcal{CK}(n)$ 的面对应于下层树 $l(k,2)$ 或上层树 $u(t;r_1,\dots,r_t)$ 的细化，且该面是相应顶点的凸包。
• 证明表明，该凸包实现与 $\mathcal{CK}(n)$ 的递归复形定义在组合上等价，通过归纳法与超平面边界论证得以确立。