[论文解读] Rényi Divergence and $L_p$-affine surface area for convex bodies

Elisabeth M. Werner|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 45被引用 7

一句话总结

本文通过证明凸体的 $L_p$-仿射表面积是其极对偶体的锥测度之间 Rényi 散度的指数形式，建立了凸几何与信息论之间的深刻联系。与以往依赖对称性和强光滑性假设的工作不同，该方法仅通过一阶展开即揭示了所有 Rényi 散度 $D_\alpha$ 的几何解释，揭示了比基于 $L_p$-中心体的先前方法更精细的边界细节。

ABSTRACT

We show that the fundamental objects of the $L_p$-Brunn-Minkowski theory, namely the $L_p$-affine surface areas for a convex body, are closely related to information theory: they are exponentials of Rényi divergences of the cone measures of a convex body and its polar. We give geometric interpretations for all Rényi divergences $D_α$, not just for the previously treated special case of relative entropy which is the case $α=1$. Now, no symmetry assumptions are needed and, if at all, only very weak regularity assumptions are required. Previously, the relative entropies appeared only after performing second order expansions of certain expressions. Now already first order expansions makes them appear. Thus, in the new approach we detect "faster" details about the boundary of a convex body.

研究动机与目标

• 建立凸几何中的 $L_p$-仿射表面积与信息论中 Rényi 散度之间的基本联系。
• 为所有 $\alpha$ 提供 Rényi 散度 $D_\alpha$ 的几何解释，而不仅限于 $\alpha=1$（相对熵）的特殊情况，且无需对称性或强光滑性假设。
• 表明表面体或照明表面体的一阶展开已能揭示 Rényi 散度信息，而无需像以往方法那样依赖二阶展开。
• 通过推广并改进关于仿射不变量 $\Omega_K$ 的早期结果，将其扩展至非对称体和更弱的正则性条件。

提出的方法

• 为所有 $\alpha > 0$，$\alpha \neq 1$，定义凸体 $K$ 及其对偶 $K^\circ$ 的锥测度之间的 Rényi 散度 $D_\alpha$。
• 证明 $L_p$-仿射表面积及混合 $p$-仿射表面积等于特定 $\alpha = \frac{p}{n+p}$ 和 $\alpha = \frac{n}{n+p}$ 下的 Rényi 散度的指数形式。
• 利用 $K$ 与其表面体 $K_{f,s}$ 之间体积差的一阶展开提取 Rényi 散度信息，避免了以往工作所需的二阶展开。
• 引入表面体与照明表面体作为几何工具，通过 $s \to 0$ 时体积衰减速率来解释 Rényi 散度。
• 通过一阶体积展开与 Rényi 散度，建立对仿射不变量 $\Omega_K$ 和 $\mathcal{A}_K$ 的新几何解释。
• 利用已知的 $L_p$-中心体结果，并通过用一阶展开替代二阶展开，降低正则性要求。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸体 $K$ 的 $L_p$-仿射表面积如何与该体及其对偶体的锥测度之间的 Rényi 散度相关？
• RQ2 能否在不假设对称性或 $C^2_+$ 光滑性的前提下，为所有 $\alpha$ 的 Rényi 散度 $D_\alpha$ 提供几何解释？
• RQ3 为何表面体的一阶展开能揭示 Rényi 散度信息，而以往方法却需要对 $L_p$-中心体使用二阶展开？
• RQ4 仿射不变量 $\Omega_K$ 和 $\mathcal{A}_K$ 如何与 Rényi 散度及表面体的体积展开相关联？
• RQ5 能否通过更弱的正则性假设，将 Rényi 散度的几何解释推广至非对称凸体？

主要发现

• 凸体 $K$ 的 $L_p$-仿射表面积等于 $\exp\left(-\frac{p}{n+p} D_{\frac{p}{n+p}}(P_K \| Q_K)\right)$，其中 $P_K$ 和 $Q_K$ 分别为 $K$ 及其对偶的锥测度。
• 在不假设对称性或 $C^2_+$ 光滑性的前提下，为所有 $\alpha > 0$，$\alpha \neq 1$ 建立了 Rényi 散度 $D_\alpha$ 的几何解释。
• 通过 $K$ 与其表面体 $K_{f,s}$ 之间体积差的一阶展开，可提取 Rényi 散度信息，揭示了比以往 $L_p$-中心体理论中使用的二阶展开更精细的边界细节。
• 仿射不变量 $\Omega_K$ 的几何解释为 $\exp\left(-D_{KL}(P_K \| Q_K)\right) \cdot \frac{|K|}{|K^\circ|}$，且在弱光滑性条件下对非对称 $K$ 也成立。
• 对于 $K \in C^2_+$，体积衰减速率 $\lim_{s \to 0} \frac{|K| - |K_{f,s}|}{s^{2/(n-1)}}$ 与 Rényi 散度相关，形式为 $c_n \cdot \text{Exp}(-\frac{p}{n+p} D_{\frac{p}{n+p}}(P_K \times \cdots \times P_K \| Q_K \times \cdots \times Q_K))$。
• 不变量 $\mathcal{A}_K$ 满足 $\Omega_K^{1/n} = \mathcal{A}_{K^\circ}$，其几何意义通过表面体的一阶体积展开得以恢复，将先前结果推广至非对称体。