[论文解读] Résolutions de Demazure affines et formule de Casselman-Shalika géométrique

B. C. Ngô, Patrick Polo|ArXiv.org|May 2, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 50

一句话总结

本文证明了 Frenkel、Gaitsgory、Kazhdan 和 Vilonen 关于仿射格拉斯曼流形上球对称 perverse 丛傅里叶系数的几何猜想，确立了在交集上同调复形 $ \mathcal{A}_\lambda $ 系数下，某些 Schubert 型子簇 $ S_\nu $ 的紧支集上同调集中在度数 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $，且 Frobenius 作用为 $ q^{\langle\rho,\nu\rangle} $。该结果为 Whittaker 函数的 Casselman-Shalika 公式提供了几何证明。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan and Vilonen, related to Fourier coefficients of spherical perverse sheaves on the affine Grassmannian associated to a a split reductive group. Our proof is an extension of the proof given by the first author in the case of GL(n) (see math/9801109); it relies on the study of certain resolutions of Schubert varieties in the affine Grassmannian, built from the so-called minuscule or quasi-minuscule cases.

研究动机与目标

• 证明 Frenkel、Gaitsgory、Kazhdan 和 Vilonen 关于仿射格拉斯曼流形上球对称 perverse 丛傅里叶系数的几何猜想。
• 通过 $ \ell $-进上同调建立 Casselman-Shalika 公式在 Whittaker 函数上的几何解释。
• 证明 $ S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu $ 在 $ \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi $ 系数下的紧支集上同调仅在 $ \nu = \lambda $ 时非零，且当 $ \nu = \lambda $ 时在度数 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ 处为一维。

提出的方法

• 使用仿射 Demazure 分解研究 $ \overline{\mathcal{Q}}_\lambda $ 的几何结构，特别针对极小和准极小的 $ \lambda $。
• 构造一个态射 $ h: S_\nu \to \mathbb{G}_a $，使得 $ \theta(x) = \psi(h(x)) $，其中 $ \psi $ 是一个非平凡加法特征。
• 通过分层和谱序列论证计算紧支集上同调 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_{k} \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $。
• 应用 Lefschetz 跟踪公式和交集上同调的性质以控制 Frobenius 特征值。
• 利用 Mirkovic-Vilonen 等价和 Satake 同构，将上同调数据与 Langlands 对偶群 $ G^\vee $ 的表示理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在交集上同调复形 $ \mathcal{A}_\lambda $ 系数下，子簇 $ S_\nu $ 的 $ \ell $-进上同调是什么？
• RQ2 在 $ \mathcal{A}_\mu \otimes h^*\mathcal{L}_\psi $ 系数下，$ S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu $ 的上同调上 Frobenius 作用如何？
• RQ3 能否从 $ S_\nu $ 的上同调几何地导出 Whittaker 函数的 Casselman-Shalika 公式？
• RQ4 $ \mathrm{H}^{2\langle\rho,\nu\rangle}_c(S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu, \mathcal{A}_\mu \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ 的维数是多少？
• RQ5 从 0 到 $ \nu $ 的 $ \mu_\bullet $-主导路径的数量如何与上同调的维数相关？

主要发现

• 紧支集上同调 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_{k} \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda) $ 集中在度数 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $，且 Frobenius 作用为乘以 $ q^{\langle\rho,\nu\rangle} $。
• 当 $ \nu \neq \lambda $ 时，复形 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_{k} \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ 为零。
• 当 $ \nu = \lambda $ 时，复形 $ \mathrm{R}\Gamma_c(S_\nu \otimes_{k} \overline{k}, \mathcal{A}_\lambda \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ 在度数 $ 2\langle\rho,\nu\rangle $ 处同构于 $ \overline{\mathbb{Q}}_\ell(-\langle\rho,\nu\rangle) $。
• $ \mathrm{H}^{2\langle\rho,\nu\rangle}_c(S_\nu \cap \overline{\mathcal{Q}}_\mu, \mathcal{A}_\mu \otimes h^*\mathcal{L}_\psi) $ 的维数等于从 0 到 $ \nu $ 的 $ \mu_\bullet $-主导路径的数量。
• 该结果为 Casselman-Shalika 公式提供了几何证明，恢复了 Whittaker 函数值为 $ (-1)^{2\langle\rho,\nu\rangle} q^{\langle\rho,\nu\rangle} $。