[论文解读] Rademacher chaos in symmetric spaces

С. В. Асташкин|ArXiv.org|Jun 19, 2000

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过分析标准形式 $\{r_i(t)r_j(t)\}_{i\neq j}$ 与解耦形式 $\{r_i(s)r_j(t)\}_{i,j}$ 的多个 Rademacher 系统在对称空间中的等价性与可补性，研究了对称空间中的 Rademacher 混沌。关键贡献在于建立了该系统与 $\ell_2$ 基等价的充要条件，并证明了此类系统在 $L_\infty$ 类空间中不具备无条件性，且在 Marcinkiewicz 空间与 Orlicz 空间中给出了精确的不可补性结果。

ABSTRACT

Necessary and sufficient conditions for the equivalence of the Rademacher chaos to the canonical basis of l_2 and also for the complementability of the corresponding generated subspace are derived. In particular, we obtain the unimprovability of the exponential integrability of functions from this space.

研究动机与目标

• 确定多个 Rademacher 系统 $\{r_i(t)r_j(t)\}_{i \neq j}$ 在对称空间中与经典 $\ell_2$ 基等价的必要与充分条件。
• 研究由 Rademacher 混沌生成的子空间在对称空间中的可补性。
• 阐明 Rademacher 混沌子空间在对称空间中的几何结构，特别是在 $L_\infty$ 附近的情形。
• 建立 Rademacher 混沌中函数指数可积性的精确界限，表明该增长无法改进。
• 证明多个 Rademacher 系统在 $L_\infty$ 及相关空间中缺乏无条件性，与经典 Rademacher 系统形成对比。

提出的方法

• 使用解耦技术，将分析从区间 $I$ 转移到正方形 $I \times I$，将形如 $y(t) = \sum_{i \neq j} b_{i,j} r_i(t)r_j(t)$ 的函数映射为 $x(s,t) = \sum_{i,j} a_{i,j} r_i(s)r_j(t)$。
• 应用 $I$ 与 $I \times I$ 上对称空间（s.s.）的理论，利用序半连续性与对偶性分析范数与嵌入关系。
• 使用算子 $T_\theta$ 与 $\bar{T}_\theta$，针对符号排列 $\theta_{i,j} = \pm 1$，分析其在 Marcinkiewicz 空间与 Orlicz 空间中的有界性。
• 利用截断混沌函数绝对值的等测度性，比较解耦与未解耦系统之间的范数。
• 应用 Lorentz 空间与 Marcinkiewicz 空间的已知结果，特别是具有给定基本函数的 Marcinkiewicz 空间的最大性质。
• 依赖反证法：假设 $T_\theta$ 在某些空间中有界，将与已知的非有界性结果（如定理 7）产生矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多重 Rademacher 系统 $\{r_i(t)r_j(t)\}_{i \neq j}$ 在对称空间中与经典 $\ell_2$ 基等价？
• RQ2 在何种条件下，由 Rademacher 混沌生成的子空间在对称空间中可补？
• RQ3 为何多重 Rademacher 系统在 $L_\infty$ 及相关对称空间中不具备无条件基性质？
• RQ4 Rademacher 混沌中函数的指数可积性的精确阈值是什么？该界限是否不可改进？
• RQ5 能否用经典序列空间（如 $\ell_p$，$p < 2$）来刻画多重 Rademacher 混沌的系数序列？

主要发现

• 多重 Rademacher 系统 $\{r_i(s)r_j(t)\}_{i,j}$ 在对称空间 $X$ 中与 $\ell_2$ 基等价，当且仅当 $X$ 与 Lorentz 空间 $\Lambda_p(\varphi)$ 等价，其中 $\varphi(t) = \log_2^{1-p}(2/t)$，且 $1 \leq p < 2$。
• 在 $I \times I$ 上，函数 $x(s,t) = \sum a_{i,j} r_i(s)r_j(t)$ 且 $a \in \ell_2$ 的子空间 $\mathcal{R}(L_\infty)$ 在 $M(\varphi_\varepsilon)(I \times I)$ 中不可补，其中 $\varepsilon < 1/2$，且 $\varphi_\varepsilon(t) = t \log_2^{-\varepsilon + 1/2}(2/t)$。
• 对任意 $0 < \varepsilon < 1/2$，存在一种符号排列 $\theta$，使得 $T_\theta: \mathcal{R}(L_\infty) \not\to M(\varphi_\varepsilon)(I \times I)$，从而证明了有界性的精确性。
• 函数 $y(t) = \sum_{i \neq j} b_{i,j} r_i(t)r_j(t)$ 的子空间 $\bar{\mathcal{R}}(L_\infty)$ 在 $M(\varphi_\varepsilon)$ 中不可补（$\varepsilon < 1/2$），且不存在任何对称空间 $X$ 满足 $\|\sum b_{i,j} r_i r_j\|_X \asymp \left(\sum |b_{i,j}|^p\right)^{1/p}$，其中 $p \in [1,2)$。
• Rademacher 混沌中函数的指数可积性是不可改进的：当 $\sum b_{i,j}^2 < \infty$ 时，对所有 $\alpha > 0$，$\exp(\alpha |y(t)|)$ 均可积，且该界限无法改进。
• 与经典 Rademacher 系统不同，多重 Rademacher 系统在 $L_\infty$ 或其邻近空间中不具备无条件基性质，且在 $L_\infty$ 中量化了其非无条件性的程度。