[论文解读] Radial components, prehomogeneous vector spaces, and rational Cherednik algebras

Thierry Levasseur|ArXiv.org|Jan 8, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文建立了预齐性向量空间 (G:V) 上 G-不变微分算子的径向分量映射与有理 Cherednik 代数的球面子代数之间的对应关系，其中 V//G 为一维商。它证明了径向分量映射的像是同构于该球面子代数，其重数函数由不变式 f 的 Bernstein-Sato 多项式的根决定。在重数自由情形下，它建立了 C[V] 中 G-表示与由 f 及其对偶微分算子 Δ 生成的李代数的最低权模之间的 Howe 对偶性。

ABSTRACT

Let V be a finite dimensional representation of the connected complex reductive group H. Denote by G the derived subgroup of H and assume that the categorical quotient of V by G is one dimensional. In this situation there exists a homomorphism, denoted by rad, from the algebra A of G-invariant differential operators on V to the first Weyl algebra. We show that the image of rad is isomorphic to the spherical subalgebra of a Cherednik algebra, whose parameters are determined by the b-function of the relative invariant associated to the prehomogeneous vector space (H : V). If (H : V) is furthemore assumed to be multiplicity free we obtain a Howe duality between a set of representations of G and modules over a subalgebra of the associative Lie algebra A. Some applications to holonomic modules and H-equivariant D-modules on V are also given.

研究动机与目标

• 理解当范畴商 V//G 为一维时，G-不变微分算子代数 D(V)^G 的结构。
• 以有理 Cherednik 代数的形式描述径向分量映射 rad: D(V)^G → D(h/W) 的像。
• 在重数自由情形下，建立 C[V] 中 G-表示与由 f 及其对偶微分算子 Δ 生成的李代数的最低权模之间的 Howe 对偶性。
• 将 Rubenthaler 对抛物预齐性向量空间的结果推广到一般的一维商预齐性向量空间。
• 将该框架应用于 Capelli 型表示，得出关于正则 Holonomic 与等变 D-模的新结果。

提出的方法

• 将径向分量映射 rad: D(V)^G → D(h/W) 定义为 G-不变作用与由 Cartan 子空间 h ⊂ V 诱导的同构 ψ: C[V]^G → C[h]^W 的复合。
• 证明 rad 的像是同构于由 f 的 Bernstein-Sato 多项式的根所定义的根系对应的有理 Cherednik 代数的球面子代数。
• 利用预齐性向量空间（PHVs）与极化表示的理论，将问题约化为一维商，从而可应用 Weyl 代数结构。
• 在重数自由情形下，构造 C[V] 中 G-表示与由 f 和 Δ ∈ S(V) 生成的李代数的最低权模之间的对偶性，推广了 Howe 对偶性。
• 将该框架应用于 Capelli 型表示，证明 V 上的 G × C-等变 D-模范畴同构于有理 Cherednik 代数上的 θ-稳定模范畴。
• 借助 Muro 与 Nang 在特殊情形下的结果，支持该同构在所有满足 dim(V//G) = 1 的 Capelli 型 PHVs 中普遍成立的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 V//G 为一维时，径向分量映射 rad: D(V)^G → D(h/W) 的像是什么？
• RQ2 在具有 1 维商的预齐性向量空间中，有理 Cherednik 代数的球面子代数与径向分量映射有何关系？
• RQ3 在重数自由的预齐性向量空间中，能否在 C[V] 中的 G-表示与由 f 及其对偶微分算子 Δ 生成的李代数的最低权模之间建立 Howe 对偶性？
• RQ4 Capelli 型条件对 V 上 G-等变 D-模结构有何影响？
• RQ5 在满足 dim(V//G) = 1 的 Capelli 型预齐性向量空间中，V 上的 G × C-等变 D-模范畴与有理 Cherednik 代数上的 θ-稳定模范畴之间是否存在范畴同构？

主要发现

• 径向分量映射 rad: D(V)^G → D(h/W) 的像是同构于一个有理 Cherednik 代数的球面子代数，其重数函数由 f 的 Bernstein-Sato 多项式的根决定。
• 在满足 dim(V//G) = 1 的重数自由预齐性向量空间中，rad 的核被显式描述，且在 C[V] 中的 G-表示与由 f 和 Δ 生成的李代数的最低权模之间建立了 Howe 对偶性。
• 对于满足 dim(V//G) = 1 的 Capelli 型表示，V 上的 G × C-等变 D-模范畴同构于有理 Cherednik 代数上的 θ-稳定模范畴。
• 已知 Muro 与 Nang 在特殊情形下的结果支持该同构在所有满足 dim(V//G) = 1 的 Capelli 型 PHVs 中普遍成立的猜想。
• 该框架为当 G 是单连通时，V 上具有特征簇包含于幂零锥的正则 Holonomic D-模提供了组合分类。
• 本文将 Rubenthaler 对抛物预齐性向量空间的结果推广至一般的一维商预齐性向量空间。