[论文解读] Radial Convex Solutions of Boundary Value Problems for Systems of Monge-Ampere equations

Haiyan Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过Krasnoselskii在锥上的不动点定理，研究了单位球内弱耦合Monge-Ampère方程组非平凡径向凸解的存在性、多重性及非存在性。关键结果表明，解的行为在很大程度上取决于非线性项 $ f $ 和 $ g $ 在零点与无穷远处的渐近增长行为，且存在依赖于参数的临界值 $ \lambda_0 $，用于判断在次线性或超线性增长情形下解的存在性。

ABSTRACT

The existence, multiplicity and nonexistence of nontrivial radial convex solutions of a system of two weakly coupled Monge-Ampere equations are established with asymptotic assumptions for an appropriately chosen parameter. The proof of the results is based on Krasnoselskii's fixed point theorem in a cone.

研究动机与目标

• 分析单位球内两个弱耦合Monge-Ampère方程组非平凡径向凸解的存在性、多重性及非存在性。
• 确定非线性项 $ f $ 和 $ g $ 在零点与无穷远处的渐近行为如何影响此类解的存在性。
• 建立依赖于参数的临界值 $ \lambda_0 $，使得解的存在或非存在性取决于 $ f $ 和 $ g $ 的增长类型。

提出的方法

• 通过变量替换 $ v_i = -u_i $ 将原边值问题转化为等价的积分方程组，定义于正的凹函数锥内。
• 对算子 $ \mathbf{T}_\lambda $ 应用Krasnoselskii在锥上的不动点定理，该算子将方程组转化为不动点形式。
• 定义满足 $ v_i' \leq 0 $，$ v_i(1) = 0 $，且 $ v_i(0) \geq 0 $ 的函数锥，以保证原函数 $ u_i $ 的凸性。
• 使用范数 $ \| (v_1, v_2) \| = \max\{ \|v_1\|, \|v_2\| \} $ 分析在环形区域 $ \Omega_{r_i} \setminus \overline{\Omega_{r_j}} $ 中不动点的存在性。
• 通过在锥中球面边界上分析算子 $ \mathbf{T}_\lambda $ 的行为，利用范数比较中的严格不等式，应用不动点定理。
• 基于 $ f $ 和 $ g $ 的极限值 $ f_0, f_\infty, g_0, g_\infty $ 对 $ f $ 和 $ g $ 进行估计，以控制算子并推导出矛盾或存在性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ f $ 和 $ g $ 的渐近增长行为满足何种条件时，弱耦合Monge-Ampère方程组存在非平凡径向凸解？
• RQ2 参数 $ \lambda $ 如何影响此类解的存在性与多重性？
• RQ3 多个非平凡径向凸解能否共存？在何种 $ f $ 和 $ g $ 的增长条件下可实现？
• RQ4 精确的临界值 $ \lambda_0 $ 是什么？使得解在 $ \lambda > \lambda_0 $ 或 $ \lambda < \lambda_0 $ 时存在，具体取决于增长类型？
• RQ5 在何种条件下不存在非平凡径向凸解？$ f $ 和 $ g $ 需满足何种条件导致此非存在性？

主要发现

• 若 $ f_0 = g_0 = 0 $ 且 $ f_\infty = g_\infty = \infty $，则对所有 $ \lambda > 0 $，存在非平凡凸解。
• 若 $ f_0 = g_0 = \infty $ 且 $ f_\infty = g_\infty = 0 $，则对所有 $ \lambda > 0 $，存在非平凡凸解。
• 若 $ f_0 = g_0 = f_\infty = g_\infty = 0 $，则对所有 $ \lambda > \lambda_0 $（其中 $ \lambda_0 > 0 $），存在两个不同的非平凡凸解。
• 若 $ f_0 = g_0 = f_\infty = g_\infty = \infty $，则对所有 $ 0 < \lambda < \lambda_0 $（其中 $ \lambda_0 > 0 $），存在两个不同的非平凡凸解。
• 若 $ f_0, g_0, f_\infty, g_\infty < \infty $，则当 $ 0 < \lambda < \lambda_0 $ 时，不存在非平凡凸径向解，其中 $ \lambda_0 = (1/(2\varepsilon))^N $，且 $ \varepsilon $ 依赖于 $ f $ 和 $ g $ 的增长界。
• 若 $ f_0, g_0, f_\infty, g_\infty > 0 $，则当 $ \lambda > \lambda_0 $ 时，不存在非平凡凸径向解，其中 $ \lambda_0 = (1/(\Gamma \varepsilon))^N $，且 $ \varepsilon $ 依赖于 $ f $ 和 $ g $ 的下界。