[论文解读] Radial Müntz-Szász Networks: Neural Architectures with Learnable Power Bases for Multidimensional Singularities

Gnankan Landry Regis N'guessan, Bum Jun Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2026

Model Reduction and Neural Networks被引用 0

一句话总结

RMN 引入可学习的径向幂基，以在多维径向奇异性建模中实现高准确性，参数显著少于 MLP 与 SIREN，并且便于扩展到角度依赖和多中心源。

ABSTRACT

Radial singular fields, such as $1/r$, $\log r$, and crack-tip profiles, are difficult to model with current coordinate-separable neural architectures. We formally establish this result: any $C^2$ function that is both radial and additively separable must be quadratic, establishing a fundamental obstruction for coordinate-wise power-law models. Motivated by this result, we introduce Radial Müntz-Szász Networks (RMN), which represent fields as linear combinations of learnable radial powers $r^μ$, including negative exponents, together with a limit-stable log-primitive for exact $\log r$ behavior. RMN admits closed-form spatial gradients and Laplacians, enabling physics-informed learning on punctured domains. Across ten 2D and 3D benchmarks, RMN achieves between 1.5 and 51 times lower RMSE than MLPs and between 10 and 100 times lower RMSE than SIREN, while using only 27 parameters, compared with 33,537 for MLPs and 8,577 for SIREN. We extend RMN to incorporate angular dependence (RMN-Angular) and to handle multiple sources with learnable centers (RMN-MC), whose source-center recovery errors fall below $10^{-4}$. We also report controlled failures on smooth, strongly non-radial targets to delineate RMN's operating regime.

研究动机与目标

• 说明协调可分架构难以处理的径向奇异性的建模需求。
• 提出一种可学习的径向幂基架构来表示径向场，包括允许负指数和对数原元以实现 log r 行为。
• 提供理论基础，展示对坐标分离方法的可分性障碍，并证明径向 Müntz 空间的稠密性结果。
• 将 RMN 扩展到角度依赖和多中心源，以处理更复杂的奇异性结构。
• 通过在带孔域上的物理信息学习，在基准测试中展示效率与可解释性。

提出的方法

• 将径向场表示为可学习幂的线性组合，允许负指数的 r^μ。
• 包含一个极限稳定的对数原元，通过极限 (r^μ−1)/μ → log r，当 μ→0 时可准确捕捉 log r 行为。
• 推导 RMN 的闭式梯度和拉普拉斯算符，以实现物理信息学习。
• 证明一个可分性障碍：任何 C^2 的径向加性可分函数必须是二次函数（定理 3.15）。
• 将 RMN 扩展到 RMN-角度，使用球谐函数表示角度依赖。
• 将 RMN 扩展到 RMN-MC，具有可学习的源中心，以恢复多个奇点。

Figure 3 : RMN achieves orders-of-magnitude improvement on singular functions. Top: RMSE comparison across four benchmarks. Middle left: Improvement factors. Middle right: Pareto frontier. Bottom left: Convergence. Bottom right: Architecture summary.

实验结果

研究问题

• RQ1 一个基于径向幂的可学习指数表示是否能高效逼近多维径向奇异性？
• RQ2 坐标可分架构对于径向结构的理论局限性是什么，是否可通过径向 Müntz-Szász 方法克服？
• RQ3 RMN 的变体（RMN-角度、RMN-MC）在角度和多中心奇异性上的表现如何？
• RQ4 在带孔域的物理信息学习下，RMN 在基准测试上的实际表现相较于 MLP 与 SIREN 如何？

主要发现

• RMN 在十个二维/三维基准测试中，使用仅 27 个参数，比 MLP 的 RMSE 低 1.5×–51×，比 SIREN 低 10×–100×。
• RMN 通过具有可学习对数指数的对数原元实现了精准的 log r 行为，能够稳定表示对数奇异性。
• 在针对径向函数达到可比精度的情况下，RMN 需要的参数远少于 MLP（27 vs 33,537）和 SIREN（8,577）。
• 在 RMN-MC 中源中心的恢复在优化成功时收敛到小于 1e−4 的误差。
• 理论上的可分性障碍显示坐标逐项 MSN 无法高效表示非二次径向结构，从而为 RMN 的径向基方法提供正当性。

Figure 4 : RMSE heatmap across all experiments and methods. Green = low error (good), red = high error (poor). RMN variants dominate on radial singularities; MLP excels on smooth functions.