[论文解读] Radial positive definite functions and Schoenberg matrices with negative eigenvalues

Leonid Golinskiĭ, M. M. Malamud+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文研究了在 ℝⁿ 上定义但无法延拓至 ℝⁿ⁺¹ 的径向正定函数，通过 Schoenberg 的积分表示刻画了类 Φₙ \ Φₙ₊₁。文章建立了 f ∈ Φₙ \ Φₙ₊₁ 时其表示测度 νₙ 的必要与充分条件，证明此类函数具有无穷多个负平方（即其 Schoenberg 矩阵可具有任意多的负特征值），并提供了显式例子，包括 Ωₙ 和 Ωₙ²(a·)。

ABSTRACT

The main object under consideration is a class $Φ_n\backslashΦ_{n+1}$ of radial positive definite functions on $\R^n$ which do not admit \emph{radial positive definite continuation} on $\R^{n+1}$. We find certain necessary and sufficient conditions for the Schoenberg representation measure $ν_n$ of $f\in Φ_n$ in order that the inclusion $f\in Φ_{n+k}$, $k\in\N$, holds. We show that the class $Φ_n\backslashΦ_{n+k}$ is rich enough by giving a number of examples. In particular, we give a direct proof of $Ω_n\inΦ_n\backslashΦ_{n+1}$, which avoids Schoenberg's theorem, $Ω_n$ is the Schoenberg kernel. We show that $Ω_n(a\cdot)Ω_n(b\cdot)\inΦ_n\backslashΦ_{n+1}$, for $a ot=b$. Moreover, for the square of this function we prove surprisingly much stronger result: $Ω_n^2(a\cdot)\inΦ_{2n-1}\backslashΦ_{2n}$. We also show that any $f\inΦ_n\backslashΦ_{n+1}$, $n\ge2$, has infinitely many negative squares. The latter means that for an arbitrary positive integer $N$ there is a finite Schoenberg matrix $\kS_X(f) := \|f(|x_i-x_j|_{n+1})\|_{i,j=1}^{m}$, $X := \{x_j\}_{j=1}^m \subset\R^{n+1}$, which has at least $N$ negative eigenvalues.

研究动机与目标

• 刻画 ℝⁿ 上无法径向正定延拓至 ℝⁿ⁺¹ 的径向正定函数类 Φₙ \ Φₙ₊₁。
• 确定函数 f ∈ Φₙ 属于 Φₙ \ Φₙ₊₁ 的 Schoenberg 测度 νₙ 的必要与充分条件。
• 证明 Φₙ \ Φₙ₊₁ 中的函数具有无穷多个负平方，即其 Schoenberg 矩阵可具有任意多的负特征值。
• 提供 Φₙ \ Φₙ₊₁ 中函数的显式例子，包括 Schoenberg 核 Ωₙ 及 a ≠ b 时的乘积 Ωₙ(a·)Ωₙ(b·)。
• 建立 νₙ 与 νₘ（m < n）之间的过渡公式，揭示 νₙ 在非延拓性下的结构性约束。

提出的方法

• 利用 Schoenberg 的积分表示 f(r) = ∫₀^∞ Ωₙ(rt) νₙ(dt)，其中 Ωₙ 为涉及贝塞尔函数的 Schoenberg 核。
• 应用过渡公式 νₘ(dx) = pₘ(x) dx，其中 pₘ(x) = [2x^{m-1} / B(m/2, (n−m)/2)] ∫_x^∞ (1 − x²/u²)^{(n−m)/2 − 1} νₙ(du)/u^m（当 m < n 时）。
• 利用贝塞尔函数 J_{2k}(x) ∼ √(2/πx) cos(x − kπ − π/4) 的渐近展开，分析傅里叶系数的符号振荡。
• 通过构造 ℝⁿ⁺¹ 中的有限点集 X，证明 Schoenberg 矩阵 S_X(Ωₙ) 至少有一个负特征值，从而证明 Ωₙ ∈ Φₙ \ Φₙ₊₁。
• 通过分析 ∫ J_{2k}(2rs) ν(ds) 在 r → ∞ 时的行为，研究 Schoenberg 矩阵中负特征值的数量，证明在特定测度条件下其数量无界增长。
• 运用 Stieltjes 矩 moment 问题理论及 Hankel 变换的性质，推导 νₙ 在非延拓性下的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于径向正定函数 f ∈ Φₙ，其 Schoenberg 测度 νₙ 满足何种必要与充分条件时，f 不属于 Φₙ₊₁？
• RQ2 能否在不依赖 Schoenberg 定理的前提下，证明 Schoenberg 核 Ωₙ 属于 Φₙ \ Φₙ₊₁？
• RQ3 函数 f = Ωₙ²(a·) 的最大延拓类是什么？其非延拓性与维度有何关联？
• RQ4 Φₙ \ Φₙ₊₁ 中函数的 Schoenberg 矩阵最多可有多少个负特征值？该数量能否任意大？
• RQ5 νₙ 的何种结构性质（如奇异分量或在零附近的支集）可推出 f ∉ Φₙ₊₁？

主要发现

• Schoenberg 核 Ωₙ 属于 Φₙ \ Φₙ₊₁，且通过构造 ℝⁿ⁺¹ 中的有限点集 X，使得 Schoenberg 矩阵 S_X(Ωₙ) 至少有一个负特征值，从而直接证明。
• 当 a ≠ b 时，乘积 Ωₙ(a·)Ωₙ(b·) 属于 Φₙ \ Φₙ₊₁，表明类 Φₙ \ Φₙ₊₁ 丰富且不限于核函数。
• 核函数的平方满足 Ωₙ²(a·) ∈ Φ_{2n−1} \ Φ_{2n}，表明其非延拓性比原核更强。
• 任何 f ∈ Φₙ \ Φₙ₊₁（n ≥ 2）具有无穷多个负平方：对任意 N ∈ ℕ，存在有限 Schoenberg 矩阵 S_X(f) 至少有 N 个负特征值。
• 若 Schoenberg 测度 νₙ(f) 具有奇异分量，或满足 νₙ((0,ε)) = 0（对某个 ε > 0），则 f ∉ Φₙ₊₁，这提供了测度论意义上的延拓障碍。
• 在条件 ∫_a^∞ ν(ds)/s^{3/2} < ∞ 且 ∫_x^∞ ν(ds)/s^{3/2} = o(x^{-1})（当 x → 0 时）下，S_X(f) 中负特征值的数量在 r → ∞ 时无界增长，意味着 κ⁻(f) = ∞。